A C. 1426. feladat (2017. május)

C. 1426. Az

\(\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)

egyenletnek négy valós megoldása van, együtthatói pedig ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotó pozitív egész számok. Mutassuk meg, hogy nem lehet minden gyök egész.

Javasolta: Kertész Ádám

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet együtthatói: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Legyen a sorozat különbsége \(\displaystyle k\).

Ekkor az együtthatók: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a=k+1\), \(\displaystyle b=2k+1\), \(\displaystyle c=3k+1\), \(\displaystyle d=4k+1\). Így az egyenlet: \(\displaystyle x^4+(k+1)\cdot x^3+(2k+1)\cdot x^2+(3k+1)\cdot x+4k+1=0\).

A konstans tag \(\displaystyle 4k+1\) páratlan, ez csak akkor lehet, ha minden gyök páratlan, hiszen ez a gyökök szorzata.

Legyenek a pozitív, páratlan gyökök: \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle p_3\), \(\displaystyle p_4\). Ekkor a gyöktényezős alak: \(\displaystyle (x-p_1)\cdot(x-p_2)\cdot(x-p_3)\cdot(x-p_4)\).

Elvégezve a szorzásokat:

\(\displaystyle x^4-(p_1+p_2+p_3 +p_4 )\cdot x^3+(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4+p_2 p_3+p_2 p_4+p_3 p_4 )\cdot x^2+\cdots.\)

Ekkor a másodfokú tag együtthatója 6 darab páratlanszor páratlan kettősszorzat összege, tehát páros. Az egyenletben viszont \(\displaystyle 2k+1\) az együttható, ami páratlan szám.

Ellentmondásra jutottunk. Tehát nem lehet minden gyök egész.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Kocsis Júlia, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Rittgasszer Ákos, Szilágyi Éva, Wolff Vilmos, Zsombó István.
4 pontot kapott:	Surján Anett, Szécsi Adél Lilla.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai