A C. 1427. feladat (2017. szeptember)

C. 1427. Osszunk fel egy négyzetet tíz darab egyenlő szárú, hegyesszögű háromszögre.

(Elemente der Mathematik)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy lehetséges konstrukció a következő. Osszuk fel az \(\displaystyle ABCD\) négyzetet 10 darab egyenlő szárú, hegyesszögű háromszögre a következő módon:

Az \(\displaystyle A\) csúcsból \(\displaystyle AB\) sugárral körözve, a kör az \(\displaystyle AC\) átlóból kimetszi az \(\displaystyle E\) pontot. Az így keletkező \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle ADE\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 45°\) és \(\displaystyle \frac{180°-45°}{2}=67,5°\).

A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontokból \(\displaystyle BE\) sugárral körözve a körök a négyzet oldalaiból kimetszik az \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontokat. A keletkező \(\displaystyle BEG\) és \(\displaystyle DEF\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 90°-67,5°=22,5°\) és \(\displaystyle \frac{180°-22,5°}{2}=78,75°\). Az \(\displaystyle C\) csúcsból \(\displaystyle CF\) sugárral körözve, a kör az \(\displaystyle AC\) átlóból kimetszi a \(\displaystyle H\) pontot. Az így keletkező \(\displaystyle CFH\) és \(\displaystyle CGH\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 45°\) és \(\displaystyle \frac{180°-45°}{2}=67,5°\).

Az \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontokból \(\displaystyle FH\) sugárral körözve a körök az \(\displaystyle FE\) és \(\displaystyle GE\) szakaszokból kimetszik az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) pontokat. A keletkező \(\displaystyle FHJ\) és \(\displaystyle GHI\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 180°-67,5°-78,75°=33,75°\) és \(\displaystyle \frac{180°-33,75°}{2}=73,125°\).

Már 8 darab háromszög megvan. A maradék kettőt úgy kapjuk, hogy összekötjük az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) pontokat. A keletkező \(\displaystyle HIJ\) háromszög szögei: \(\displaystyle 360°-2\cdot67,5°-2\cdot73,125°=78,75°\) és \(\displaystyle \frac{180°-78,75°}{2}=50,625°\). Az \(\displaystyle EIJ\) háromszög szögei pedig: \(\displaystyle 360°-2\cdot67,5°-2\cdot78,75°=67,5°\) és \(\displaystyle \frac{180°-67,5°}{2}=56,25°\).

Statisztika:

92 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Abonyi Kata, Ács Imre, Béres András, Biró 424 Ádám, Csikós Patrik, Csuvár Ákos, Debreczeni Dorina, Dombai Zétény, Fonyi Máté Sándor, Gém Viktória, Horcsin Bálint, Hordós Adél Zita, Ill Ninetta, Jánosdeák Márk, Kardos Levente, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kovács 157 Zita, Kovács 202 Szabolcs, Kozák 023 Balázs, Markó Gábor, Maurer Anna, Merkl Levente, Munkácsi Zalán Ákos, Oláh Zsófia, Pásti Bence, Pinke Andrea, Pintér Martin Sándor, Rátki Luca, Réz 426 Dávid, Sepsi Csombor Márton, Szabados Balázs, Székelyhidi Klára, Szemerédi Előd, Szendrei Botond, Szente Péter, Szőke Péter, Williams Hajna.
4 pontot kapott:	Andó Viola, Bátori Gábor, Rékási Bence.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai