A C. 1450. feladat (2017. december)

C. 1450. Határozzuk meg, hogy mely \(\displaystyle n>3\) esetén igaz az \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben a következő állítás: pontosan akkor osztható egy szám 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 10-es számrendszerből ismerjük ezt az oszthatósági szabályt. Ott azért igaz, mert a számrendszer alapja \(\displaystyle n=10\), ami hárommal osztva 1-et ad maradékul, így minden hatványa 1-es maradékot fog adni hárommal osztva. Ezért a különböző helyiértékekhez írt számjegyek éppen az ahhoz a helyiértékhez tartozó 3-as maradékot adják meg. Összeszámolva a maradékokat, az éppen a számjegyek összege lesz. Ha ez osztható 3-mal, akkor a szám is.

Ha \(\displaystyle n=3k+1\), akkor \(\displaystyle n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1=3m+1\); továbbá \(\displaystyle (3k+1)(3m+1)=3(3km+m+k)+1\).

Látható, hogy ha \(\displaystyle n\) az 1-es maradékosztályba tartozik, akkor minden hatványa ide fog tartozni. Ezért az ilyen alapú számrendszereknél igaz lesz a szabály.

Ha \(\displaystyle n\) a 2-es maradékosztályba tartozik, akkor \(\displaystyle n=3k+2\), és \(\displaystyle n^2=9k^2+12k+3+1=3m+1\). Látszik, hogy \(\displaystyle n\) hatványainál felfelé haladva váltakozni fog az 1-es és 2-es maradék. Így a számjegyek összege nem a helyiértékenként képződő maradékok összegét adja meg. A szabály ilyenkor nem használható.

Ha \(\displaystyle n\) osztható hárommal, akkor minden hatványa osztható, így az 1-es helyiérték kivételével nem lesz helyiértékenként 3-mal osztva maradék. A szám akkor lesz 3-mal osztható, ha az utolsó számjegye osztható 3-mal. Hasonlóan, mint a 10-es számrendszernél az 5-ös, vagy 10-es oszthatóság.

Statisztika:

147 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai