 |
A C. 1457. feladat (2018. január) |
C. 1457. Az egységsugarú körbe írt egyenlőszárú, derékszögű háromszöget a kör középpontja körül 45 fokkal elforgattuk. Határozzuk meg a két háromszög közös részének kerületét és területét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Ha a sugár egységnyi, akkor \(\displaystyle AB=2r=2\).
Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle FGH\) egyenlő szárú derékszögű háromszögek befogóinak hossza:
\(\displaystyle AC=BC=FG=FH=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.\)
A \(\displaystyle 45°\)-os elforgatás miatt az \(\displaystyle AB\) átmérő merőleges a \(\displaystyle GF\) húrra és felezi azt, hasonlóan a \(\displaystyle GH\) átmérő felezi a \(\displaystyle BC\) húrt, ezért \(\displaystyle FJ=GJ=BM=CM=\frac{\sqrt2}{2}\).
\(\displaystyle GJO\) és \(\displaystyle BMO\) is egyenlő szárú derékszögű háromszögek, átfogójuk a kör sugara, tehát \(\displaystyle 1\). Befogóik: \(\displaystyle GJ=OJ=BM=MO=\frac{\sqrt2}{2}\).
\(\displaystyle AJ=AO-OJ=1-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.\)
\(\displaystyle AJI\) és \(\displaystyle HML\) egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Befogóik: \(\displaystyle AJ=JI=HM=ML=1-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.\)
\(\displaystyle FI=FJ-JI=\frac{\sqrt2}{2}-\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2-1.\)
\(\displaystyle FIK\) és \(\displaystyle CKL\) egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Befogóik: \(\displaystyle FI=FK=CK=CL=\sqrt2-1\). Átfogóik: \(\displaystyle KL=IK=\sqrt2\cdot FI=2-\sqrt2\).
A keresett kerület:
\(\displaystyle K_k=OJ+JI+IK+KL+LM+MO=2\cdot OJ+2\cdot JI+2\cdot IK=\)
\(\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}+2\cdot\frac{2-\sqrt2}{2}+2\cdot(2-\sqrt2)=\sqrt2+2-\sqrt2+4-2\sqrt2=6-2\sqrt2≈3,1716.\)
A keresett terület:
\(\displaystyle T_k=T_{ABC}-T_{BMO}-T_{CKL}-T_{AIJ}=\frac{\sqrt2^2}{2}-\frac12\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac12\cdot(\sqrt2-1)^2-\frac12\cdot\left(\frac{2-\sqrt2}{2}\right)^2=\)
\(\displaystyle =1-\frac14-\frac32+\frac{2\sqrt2}{2}-\frac34+\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}-\frac32=\frac{3\cdot(\sqrt2-1)}{2}≈0,6213.\)
Statisztika:
165 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 70 versenyző. 4 pontot kapott: 27 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 15 versenyző. 0 pontot kapott: 19 versenyző.
A KöMaL 2018. januári matematika feladatai