 |
A C. 1461. feladat (2018. január) |
C. 1461. A pozitív egész számok esetén értelmezzük a \(\displaystyle \circ\) műveletet, amelyről a következő dolgokat tudjuk: \(\displaystyle i)\) \(\displaystyle 1 \circ 1=3\); \(\displaystyle ii)\) \(\displaystyle a\circ b=b\circ a\) minden \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) számra; \(\displaystyle iii)\) \(\displaystyle a \circ (b+1) = a\circ b + (a+1) + 2b\) minden \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) esetén. Adjuk meg \(\displaystyle 2017\circ 2018\) értékét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A harmadik műveleti tulajdonság: \(\displaystyle a০(b+1)=a০b+a+1+2b\).
Ezt felhasználva növeljük először a jobb oldali változó értékét \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 2018\)-ig.
\(\displaystyle a_1=1০1=3,\)
\(\displaystyle a_2=1০2=1০(1+1)=a_1+2+2\cdot1,\)
\(\displaystyle a_3=1০3=1০(2+1)=a_2+2+2\cdot2,\)
\(\displaystyle a_4=1০4=1০(3+1)=a_3+2+2\cdot3,\)
\(\displaystyle …\)
\(\displaystyle a_{2017}=1০2017=1০(2016+1)=a_{2016}+2+2\cdot2016,\)
\(\displaystyle a_{2018}=1০2018=1০(2017+1)=a_{2017}+2+2\cdot2017.\)
Ezt felhasználva:
\(\displaystyle a_{2018}=3+2017\cdot2+2(1+2+3+...+2016+2017)=\)
\(\displaystyle =3+4034+2\cdot\frac{1+2017}{2}\cdot2017=4\,074\,343=A.\)
\(\displaystyle A=1০2018=2018০1.\)
Most növeljük újra a jobb oldali változó értékét \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 2017\)-ig.
\(\displaystyle b_1=2018০1=A,\)
\(\displaystyle b_2=2018০2=2018০(1+1)=b_1+2019+2\cdot1,\)
\(\displaystyle b_3=2018০3=2018০(2+1)=b_2+2019+2\cdot2,\)
\(\displaystyle b_4=2018০4=2018০(3+1)=b_3+2019+2\cdot3,\)
\(\displaystyle …\)
\(\displaystyle b_{2016}=2018০2016=2018০(2015+1)=b_{2015}+2019+2\cdot2015,\)
\(\displaystyle b_{2017}=2018০2017=2018০(2016+1)=b_{2016}+2019+2\cdot2016.\)
Ezt felhasználva:
\(\displaystyle b_{2017}=A+2016\cdot2019+2(1+2+3+...+2015+2016)=\)
\(\displaystyle =4\,074\,343+4\,070\,304+2\cdot\frac{1+2016}{2}\cdot2016=12\,210\,919.\)
Tehát \(\displaystyle 2017০2018=2018০2017=b_{2017}=12\,210\,919\).
Statisztika:
50 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Balog 518 Lóránd, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Gárdonyi Csilla Dóra, Jankovits András, Lajkó Áron, Magyar 257 Boglárka, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Pipis Panna, Rittgasszer Ákos, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Varga 269 Viktor, Veres Kata. 4 pontot kapott: Bíró Dániel, Dékány Barnabás, Kálóczi Kornél, Pszota Máté, Sal Dávid, Vlaszov Artúr. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2018. januári matematika feladatai