A C. 1462. feladat (2018. február)

C. 1462. Egy számtani sorozat első tagja \(\displaystyle a_1=3\), differenciája 9. Bizonyítsuk be, hogy a sorozat tagjai között minden természetes \(\displaystyle k\) szám esetén szerepel \(\displaystyle 3\cdot 4^k\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A sorozat \(\displaystyle n\)-edik eleme: \(\displaystyle a_n=3+(n-1)\cdot9=3+9m=3(1+3m)\). Bizonyítandó, hogy tetszőleges természetes \(\displaystyle k\) számra van olyan \(\displaystyle m\) pozitív egész, melyre \(\displaystyle 3(1+3m)=3\cdot4^k\). Az egyenlet mindkét oldalát \(\displaystyle 3\)-mal osztva és levonva \(\displaystyle 1\)-et: \(\displaystyle 3m=4^k-1\). A jobb oldali kifejezés minden \(\displaystyle k\) egész szám esetén szorzattá alakítható: \(\displaystyle 3m=4^k-1^k=(4-1)(4^{k-1}+4^{k-2}+...+4+1)\). Vagyis ha \(\displaystyle m=4^{k-1}+4^{k-2}+...+4+1\), akkor \(\displaystyle a_{9m+3}=3\cdot4^k\).

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai