A C. 1467. feladat (2018. február)

C. 1467. Az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle 2r\) sugarú és az \(\displaystyle O\)-n áthaladó, \(\displaystyle r+1\) sugarú körök metszéspontjai legyenek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\). Mekkora lehet \(\displaystyle r\), ha az \(\displaystyle AB\) szakasz a kisebbik kör átmérője?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Az \(\displaystyle AB\) szakasz \(\displaystyle F\) felezőpontja a kisebb kör középpontja. Az \(\displaystyle FO\) egyenes a húr felező merőlegese. \(\displaystyle FO=FB=r+1\). Ezért \(\displaystyle BFO\) egyenlőszárú, derékszögű háromszög. Így az átfogó: \(\displaystyle BO=\sqrt2\cdot BF\).

A \(\displaystyle BO\) oldal a nagy kör sugara, ezért \(\displaystyle BO=2r\). Vagyis \(\displaystyle 2r=\sqrt2(r+1)\).

\(\displaystyle \sqrt2\)-vel leosztva: \(\displaystyle \sqrt2 r=r+1\).

Rendezve és gyöktelenítve a nevezőt: \(\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt2-1}\cdot\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}=\sqrt2+1\).

Tehát \(\displaystyle r=\sqrt2+1\).

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Agócs Katinka, Balog 518 Lóránd, Bodgál Attila Zoltán, Böcskei Bálint Attila, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobay Ádám, Draskóczi Dóra Boglárka, Horváth 31 László, Jankovits András, Kiszelovics Dorina, Madarász Tamás, Magyar 257 Boglárka, Mészáros 916 Márton, Mészáros Melinda, Molnár 410 István, Molnár 921 Ádám, Németh Csilla Márta, Nyitrai Boglárka, Pszota Máté, Sal Dávid, Sándor Boglárka, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla, Szűcs 865 Eszter, Varga 269 Viktor, Vezse Botond, Vlaszov Artúr.
4 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Almási Adél Csilla, Apró 936 Dániel, Deák Péter, Gere Virág, Gréczi Gergely Ádám, Kovács 111 Bence, Kovács 161 Márton Soma, Lapu Kolos, Lénárd Kristóf, Martos Letícia, Paksi Barnabás, Pipis Panna, Rittgasszer Ákos, Spányik Teodor, Szepessy Luca, Tóth Imre, Török Boldizsár, Varga Dániel Jonatán, Wolff Vilmos, Zentai Flóra.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. februári matematika feladatai