 |
A C. 1468. feladat (2018. február) |
C. 1468. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatív számok, akkor
\(\displaystyle \frac12 {(a+b)}^2+\frac14(a+b)\ge a\sqrt b+b\sqrt a\,. \)
Mikor áll fenn egyenlőség?
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Kiemeléssel alakítsuk szorzattá a jobb oldalon álló összeget:
\(\displaystyle \frac12(a+b)^2+\frac14(a+b)≥\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b).\)
Használjuk a számtani és mértani közép közötti összefüggést: \(\displaystyle \frac{a+b}{2}(\sqrt a+\sqrt b)\geq\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)\).
Tehát elég belátni, hogy \(\displaystyle \frac12(a+b)^2+\frac14(a+b)≥\frac{a+b}{2}(\sqrt a+\sqrt b)\).
Ha \(\displaystyle a=b=0\), akkor a két oldal nyilván egyenlő. Egyébként mindkét oldalt leosztjuk az \(\displaystyle \frac{a+b}{2}>0\) kifejezéssel: \(\displaystyle a+b+\frac12≥\sqrt a+\sqrt b\).
Rendezzük balra és csoportosítsuk a tagokat:
\(\displaystyle a-\sqrt a+\frac14+b-\sqrt b+\frac14≥0.\)
Alakítsuk teljes négyzetté:
\(\displaystyle \left(\sqrt a-\frac12\right)^2+\left(\sqrt b-\frac12\right)^2≥0.\)
Két szám négyzetének összege nem lehet \(\displaystyle 0\)-nál kisebb, tehát az állítás igaz.
Egyenlőség akkor állhat fenn, ha az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) szám számtani és mértani közepe egyenlő, vagyis ha \(\displaystyle a=b\). Ekkor vagy \(\displaystyle a=b=0\) esetén van egyenlőség, vagy \(\displaystyle a=b=\frac14\) esetén.
Statisztika:
43 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Agócs Katinka, Balog 518 Lóránd, Kiszelovics Dorina, Magyar 257 Boglárka, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Spányik Teodor, Surján Anett, Szécsi Adél Lilla. 4 pontot kapott: Almási Adél Csilla, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Gárdonyi Csilla Dóra, Gárgyán Barnabás, Jankovits András, Kovács 161 Márton Soma, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Rittgasszer Ákos, Tóth Imre, Wolff Vilmos. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2018. februári matematika feladatai