 |
A C. 1478. feladat (2018. április) |
C. 1478. Egy \(\displaystyle 37\)-tel osztható hatjegyű szám számjegyei különbözőek, és nem szerepel közöttük a \(\displaystyle 0\). Mutassuk meg, hogy a számjegyek sorrendjét cserélgetve még legalább hat \(\displaystyle 37\)-tel osztható számot kaphatunk.
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Nézzük meg, hogy a hatjegyű szám helyi értékei milyen maradékot adnak 37-tel osztva:
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. |
| \(\displaystyle 10^5\) | \(\displaystyle 10^4\) | \(\displaystyle 10^3\) | \(\displaystyle 10^2\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 26\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 26\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 1\) |
Mivel a számjegyek között nincs \(\displaystyle 0\), ezért az első és a negyedik, a második és az ötödik valamint a harmadik és a hatodik számjegy felcserélhető anélkül, hogy az osztási maradék megváltozna. Tehát a számjegyek cseréjével \(\displaystyle 2^3=8\) különböző számot tudunk létrehozni, melyeknek azonos a maradéka. Ez azt jelenti, hogy ha van egy hatjegyű, különböző számjegyekből álló \(\displaystyle 37\)-tel osztható számunk, ahol a számjegyek közt nincs nulla, akkor a fenti számjegyek cseréjével még hét másik számot kapunk, melyek szintén oszthatók \(\displaystyle 37\)-tel.
Statisztika:
86 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 62 versenyző. 4 pontot kapott: 6 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai