A C. 1500. feladat (2018. október)

C. 1500. Az \(\displaystyle AB\) szakaszon kijelöljük az \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) pontokat, majd megrajzoljuk a pozitív körüljárású \(\displaystyle AXPQ\), \(\displaystyle XBRS\), \(\displaystyle BYWV\) és \(\displaystyle YAUT\) négyzeteket, melyek középpontjait jelölje rendre \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KM\) és \(\displaystyle LN\) szakaszok merőlegesek egymásra és egyenlő hosszúak.

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszát \(\displaystyle a\), az \(\displaystyle AX\) szakasz hosszát \(\displaystyle x\), a \(\displaystyle BY\) szakasz hosszát \(\displaystyle y\).

A \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontok távolsága az \(\displaystyle AB\) szakasztól rendre a négyzeteik oldalának a fele. Tehát \(\displaystyle d(K;AB)=\frac{x}{2}\), \(\displaystyle d(L;AB)=\frac{a-x}{2}\), \(\displaystyle d(M;AB)=\frac{y}{2}\) és \(\displaystyle d(N;AB)=\frac{a-y}{2}\).

Vegyünk fel két derékszögű háromszöget, melyek átfogói \(\displaystyle KM\), illetve \(\displaystyle LN\) és a két háromszög egy-egy befogója legyen párhuzamos az \(\displaystyle AB\) szakasszal. Az ábrán így \(\displaystyle KC \parallel AB\) és \(\displaystyle ND \parallel AB\) és emiatt \(\displaystyle MC \perp AB\) és \(\displaystyle LD \perp AB\). Belátjuk, hogy az ábrán látható \(\displaystyle KMC\), illetve \(\displaystyle LND\) háromszög egybevágók. A \(\displaystyle KMC\) háromszögben a \(\displaystyle KC\) befogó hossza \(\displaystyle a-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\), a \(\displaystyle CM\) befogó hossza pedig \(\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{2}\). Az \(\displaystyle LND\) háromszögben az \(\displaystyle LD\) befogó hossza \(\displaystyle \frac{a-y}{2}+\frac{a-x}{2}\), az \(\displaystyle ND\) befogó hossza pedig \(\displaystyle a-\Big(a-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\Big) = \frac{x}{2}+\frac{y}{2}\).

A fentiek alapján a \(\displaystyle KMC\) és az \(\displaystyle LND\) háromszög valóban egybevágó, hiszen \(\displaystyle KC=LD\) és \(\displaystyle CM=ND\), és a megfelelő oldalak által bezárt szög megegyezik (\(\displaystyle 90^{\circ}\)). Ebből következően \(\displaystyle KM\) és \(\displaystyle LN\) valóban egyenlő hosszúak. Merőlegességük abból következik, hogy a két háromszögben az azonos hosszúságú oldalak egymásra merőlegesek: \(\displaystyle ND \perp MC\) és \(\displaystyle LD \perp KC\) és a körüljárási irány megegyezik, amiből következően \(\displaystyle KM \perp LN\) is szükszégszerűen teljesül.

Hunyadi Marcell (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)

Statisztika:

201 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	98 versenyző.
4 pontot kapott:	34 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	8 dolgozat.

A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai