A C. 1508. feladat (2018. november)

C. 1508. Határozzuk meg \(\displaystyle xy\) értékét, ha \(\displaystyle x+y=1\) és \(\displaystyle x^3+y^3=\frac12\).

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ismert azonosság szerint:

\(\displaystyle (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y).\)

Behelyettesítve a feladat feltételeit:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{2}+3xy\)

adódik, amiből

\(\displaystyle \frac{1}{2}=3xy,\)

azaz

\(\displaystyle \frac{1}{6}=xy.\)

Tehát a feltételeket kielégítő \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) számokra \(\displaystyle xy=\frac{1}{6}\).

Megmutatjuk, hogy tényleg létezik is ilyen \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\). Ehhez helyettesítsünk \(\displaystyle y=1-x\)-et az előző egyenlőségbe:

\(\displaystyle \frac{1}{6}=x(1-x),\)

\(\displaystyle \frac{1}{6}=x-x^2,\)

\(\displaystyle x^2-x+\frac{1}{6}=0.\)

Alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldóképletét kapjuk:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1-\frac{4}{6}}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2\sqrt{3}}.\)

Tehát \(\displaystyle x=x_1\) (és ekkor \(\displaystyle y=x_2\)) vagy \(\displaystyle x=x_2\) (és ekkor \(\displaystyle y=x_1\)).

Az így kapott \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékek kielégítik a feledat feltételeit:

\(\displaystyle \frac{1}{2}+ \frac{1}{2\sqrt{3}}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{2\sqrt{3}}=1\)

és

\(\displaystyle {\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^3+ {\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{1}{2}.\)

Tehát létezik ilyen \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\), a keresett \(\displaystyle xy\) érték pedig \(\displaystyle xy=\frac{1}{6}.\)

Statisztika:

375 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	291 versenyző.
4 pontot kapott:	20 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	17 dolgozat.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai