 |
A C. 1512. feladat (2018. december) |
C. 1512. Piros, fehér és zöld színű gyurma háromféle keverékéből 50 grammos kockákat készítünk. A színek aránya az első fajta kockában \(\displaystyle 3:2:0\), a másodikban \(\displaystyle 1:3:1\), a harmadikban pedig \(\displaystyle 0:1:4\). Melyik fajtából hány kockát készítsünk, ha mindegyik színből \(\displaystyle 1\) kg gyurmát szeretnénk felhasználni?
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel mindhárom színből \(\displaystyle 1-1\) kg-ot használunk fel, így összesen \(\displaystyle 3\) kg gyurmából készítünk kockákat. Egy kocka \(\displaystyle 50\) g-os, így 60 db kockát készítünk összesen. Legyen \(\displaystyle x\) db az első féle kockából (ahol a színek aránya \(\displaystyle p:f:z=3:2:0\)) és \(\displaystyle y\) db a másodikból (ahol \(\displaystyle p:f:z=1:3:1\)). Ekkor a harmadik féle kiskockából (\(\displaystyle p:f:z=0:1:4\)) \(\displaystyle 60-x-y\) db lesz.
Most nézzük, hogy melyik típusú kiskockához mennyi piros, fehér, illetve zöld gyurmát használunk. A felhasznált gyurmák arányaiból kapjuk, hogy az első féle kiskockában \(\displaystyle 30\) g piros, \(\displaystyle 20\) g fehér és \(\displaystyle 0\) g fehér gyurma van. A második fajta \(\displaystyle 10\) g piros, \(\displaystyle 30\) g fehér és \(\displaystyle 10\) g zöld gyurmából áll, míg a harmadik fajta \(\displaystyle 0\) g piros, \(\displaystyle 10\) g fehér és \(\displaystyle 40\) g zöld gyurmából.
Ezek alapján írjuk fel, hogy összesen mennyi piros, illetve fehér gyurmát használtunk:
\(\displaystyle 30x+10y=1000,\)
\(\displaystyle 20x+30y+10 (60-x-y)=1000.\)
A második egyenletben bontsuk fel a zárójelet, majd végezzük el az összevonásokat. Ekkor kapjuk, hogy
\(\displaystyle 10x+20y=400.\)
Ezzel a következő kétismeretlenes egyenletrendszert kapjuk:
| \(\displaystyle 30x+10y=1000, \) | \(\displaystyle {(1)}\) |
| \(\displaystyle 10x+20y=400. \) | \(\displaystyle {(2)}\) |
Az (1) egyenlet kétszereséből vonjuk ki a (2) egyenletet, ekkor
\(\displaystyle 50x=1600,\)
és így
\(\displaystyle x=32.\)
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy
\(\displaystyle y=4.\)
Ebből
\(\displaystyle z=24.\)
A kapott értékekkel ellenőrizve a feladatot látható, hogy valóban teljesülnek a feltételek: a piros színből \(\displaystyle 32\cdot30+4\cdot10+24\cdot0=1000\) gramm, a piros színből \(\displaystyle 32\cdot20+4\cdot30+24\cdot10=1000\) gramm, végül a zöldből szintén \(\displaystyle 32\cdot0+4\cdot10+24\cdot40=1000\) gramm lett felhasználva.
Azaz \(\displaystyle 32\) db kockát készítettünk az első fajtából, \(\displaystyle 4\) db-ot a másodikból és \(\displaystyle 24\) db-ot a harmadik fajtából.
Statisztika:
212 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 169 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai