A C. 1513. feladat (2018. december)

C. 1513. Mutassuk meg, hogy bármely köbszám felírható két négyzetszám különbségeként.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy bármely egész \(\displaystyle a\)-ra

\(\displaystyle a^3=\left(\frac{a^2+a}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2-a}{2}\right)^2.\)

Valóban:

\(\displaystyle \left(\frac{a^2+a}{2}\right)^2-\left(\frac{a^2-a}{2}\right)^2= \frac{a^4+2a^3+a^2}{4}-\frac{a^4-2a^3+a^2}{4}= \frac{4a^3}{4}=a^3.\)

Továbbá \(\displaystyle \frac{a^2+a}{2}\) és \(\displaystyle \frac{a^2-a}{2}\) egész számok, mert mindkét tört számlálója páros, hiszen előáll, mint két szomszédos szám szorzata (rendre \(\displaystyle a(a+1)\), illetve \(\displaystyle a(a-1)\)).

Azaz bebizonyítottuk, hogy bármely köbszám előáll, mint 2 egész szám négyzetének különbsége.

Megjegyzés. Nem nehéz megmutatni, hogy két négyzetszám különbségeként éppen azok az egész számok állnak elő, melyek 4-es maradéka nem 2. Ez a köbszámokra nyilvánvalóan teljesül.

Statisztika:

239 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	113 versenyző.
4 pontot kapott:	77 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	10 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai