A C. 1534. feladat (2019. március)

C. 1534. Oldjuk meg az \(\displaystyle 5x^2+y^2-4xy+24 \le 10x-1\) egyenlőtlenséget a valós számpárok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük át az egyenlőtlenséget, hogy a jobb oldalon 0 álljon:

\(\displaystyle 5x^2+y^2-4xy+24-10x+1 \leq 0. \)

A bal oldalt alakítsuk két teljes négyzet összegévé:

\(\displaystyle (y-2x)^2 + (x-5)^2 \leq 0.\)

A bal oldalon álló összeg mindkét tagja nagyobb, vagy egyenlő 0-nál, hiszen négyzetek, azaz az összeg csak úgy lehet kisebb, vagy egyenlő 0-nál, ha egyenlő 0-val. Két négyzet összege pontosan akkor egyenlő 0-val, ha mindkettő 0. Azaz \(\displaystyle (y-2x)^2=0\) és \(\displaystyle (x-5)^2=0.\)

Ebből \(\displaystyle y-2x=0\) és \(\displaystyle x-5=0.\) Kaptuk, hogy

\(\displaystyle x=5\)

és

\(\displaystyle y=10.\)

Azaz az egyenlőtlenségnek egyetlen számpár a megoldása: \(\displaystyle x=5,y=10.\)

Megjegyezzük, hogy ezt visszahelyettesítve láthatjuk, hogy teljesül az egyenlőtlenség.

Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	178 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	12 dolgozat.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai