 |
A C. 1538. feladat (2019. március) |
C. 1538. Az Iker Asztalitenisz Klub edzésére egyik nap hat ikerpár ment el. Az edzők szerették volna, ha a próbameccseket úgy játszanák, hogy semelyik ikerpár két tagja ne játsszon egy asztalnál.
\(\displaystyle a)\) Hányféleképpen lehet beosztani a gyerekeket forgót játszani két különböző asztalhoz?
\(\displaystyle b)\) Hányféleképpen lehet három különböző asztalhoz, a páros mérkőzésekre négyesével elosztani a sportolókat? (Itt is csak az számít, hogy kik kerülnek egy asztalhoz.)
(Angol feladat nyomán)
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Mindkét asztalnál 6 gyereknek kell lennie, hiszen semelyik ikerpár 2 tagja nem játszhat egy asztalnál. Így minden ikerpárnál el kell döntenünk, hogy az ikerpár melyik tagja megy az egyik, melyik a másik asztalhoz, ezt \(\displaystyle 2^6\)-féleképpen tehetjük meg.
Azaz \(\displaystyle 2^6=64\)-féleképpen lehet a gyerekeket beosztani a két asztalhoz.
b) Itt minden asztalhoz 4 gyerek fog kerülni, és nem lehetnek köztük ikrek. Nézzük először az 1. asztalt: Kiválasztjuk, hogy a 6 ikerpárból mely 4-nek fog egy-egy tagja itt játszani, majd a kiválasztott 4 ikerpárból is eldöntjük, hogy az adott ikerpár melyik tagja játszik ennél az asztalnál. Ez \(\displaystyle \binom{6}{4} \cdot 2^4\) lehetőséget ad. Ezután a maradék (az előbb ki nem választott) 2 ikerpár tagjait szétosztjuk a 2. és 3. asztalhoz (ikerpár két tagja külön asztalhoz kell, hogy kerüljön), ezt \(\displaystyle 2^2\)-féleképpen tehetjük meg. Végül a maradék 4 emberből (akik tehát az 1. asztalhoz kerülők ikertestvérei) kiválasztjuk, hogy melyik kettő kerül a 2. asztalhoz (a maradék kettő megy a 3.-hoz), ez \(\displaystyle \binom{4}{2}\)-féleképpen lehetséges.
Így
\(\displaystyle \binom{6}{4} \cdot 2^4 \cdot 2^2 \cdot \binom{4}{2},\)
azaz 5760-féleképpen lehet a gyerekeket a három asztalhoz szétosztani.
Statisztika:
52 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ajtai Boglárka, Debreczeni Tibor, Demcsák Ágnes, Facskó Vince, Gyuricza Gergő, Hordós Adél Zita, Jankovits András, Kis 194 Károly, Majerusz Ádám, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Német Franciska, Nyitrai Boglárka, Pipis Panna, Schäffer Bálint, Sebe Anna, Varga Ákos. 4 pontot kapott: Gál Bence, Jelinek Dorka, Kardkovács Levente, Kis-Tóth Janka, Kubik Emese, Rátki Luca, Rozgonyi Gergely, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Vándorffy Áron. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai