A C. 1542. feladat (2019. április)

C. 1542. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög befogóinak hossza 5 és 12. A \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok a háromszög beírt körén helyezkednek el úgy, hogy a \(\displaystyle PQR\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalainak hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Pitagorasz-tételt alkalmazva az \(\displaystyle ABC\) háromszögre kapjuk, hogy \(\displaystyle AB=13\). A beírt kör sugara legyen \(\displaystyle r\). A háromszög területe \(\displaystyle \frac{5\cdot12}{2}= r s\), ahol az \(\displaystyle s\) félkerület értéke \(\displaystyle s=(5+12+13)/2=15\). Ebből \(\displaystyle r=2\). Mivel a \(\displaystyle PQR\) háromszög körülírt köre az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre, és a derékszögű \(\displaystyle PQR\) háromszög \(\displaystyle PQ\) átfogója átmérő ebben a körben, így hossza 4 (derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja).

Továbbá tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle PQR\) háromszögek hasonlók, azaz a megfelelő oldalaik aránya megegyezik, így

\(\displaystyle \frac{PR}{5}=\frac{QR}{12}=\frac{4}{13}.\)

Ebből \(\displaystyle PR= \frac{20}{13}\) és \(\displaystyle QR= \frac{48}{13}\).

Azaz a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalai \(\displaystyle \frac{20}{13}, \frac{48}{13} \) és 4 hosszúak.

Statisztika:

173 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	111 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai