A C. 1546. feladat (2019. május)

C. 1546. Oldjuk meg az egész számpárok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle (x-8)(x-10)=2^y. \)

(Amerikai versenyfeladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán két egész szám szorzata áll, így a jobb oldal értéke is egész, vagyis \(\displaystyle y\) nemnegatív egész szám. Tehát a jobb oldal kettőhatvány, így a bal oldali szorzat mindkét tényezőjének abszolútértéke kettőhatvány kell, hogy legyen. Ráadásul a bal oldali két tényező különbsége 2, azaz két olyan kettőhatvány abszolútértéke áll a bal oldalon, amiknek a különbsége 2. A kettőhatványok különbségsorozata szigorúan monoton nő, pontosan két kettőhatvány van, aminek a különbsége 2: a 2 és a 4.

Ezek alapján az előjeleket is figyelembe véve 2 eset lehetséges:

1. eset: \(\displaystyle x-8=4\) és \(\displaystyle x-10=2\). Ekkor \(\displaystyle 8=2^y\), azaz \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=12\).

2. eset: \(\displaystyle x-8=-2\) és \(\displaystyle x-10=-4\) Ekkor \(\displaystyle 8=2^y\), azaz \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=6\).

Ezeket az értékeket visszahelyettesítve látható, hogy teljesül az egyenlet.

Azaz két megoldás van: \(\displaystyle x=12, y=3\) és \(\displaystyle x=6, y=3\).

Statisztika:

79 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Bodrogi Éva, Bognár 171 András Károly, Ecsedi Boglárka, Egyházi Hanna, Görcs András, Gyuricsek Szilárd, Hajdú Bálint, Halász Henrik, Imre Tamás, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kerekes Boldizsár, Kovács Alex, Mácsai Dániel, Molnár Réka, Páhán Anita Dalma, Patricia Janecsko, Sepsi Csombor Márton, Somogyi Dalma, Sümegi Géza, Szanyi Attila, Tüske Milán, Ungár Éva.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai