A C. 1547. feladat (2019. május)

C. 1547. Az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög \(\displaystyle EF\) oldalának felezőpontját jelölje \(\displaystyle K\). Adjuk meg az \(\displaystyle ABCD\) töröttvonalon azt az \(\displaystyle L\) pontot, melyre az \(\displaystyle AKL\) háromszög területe egyenlő a hatszög területének \(\displaystyle \frac25\) részével.

Bakos Tibor feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Feltehetjük, hogy a hatszög területe 1. Keressük az \(\displaystyle ABCD\) töröttvonalon azt az \(\displaystyle L\) pontot, melyre az \(\displaystyle ALK\) háromszög területe a hatszög területének \(\displaystyle \frac25\) része.

Ehhez először számoljuk ki három háromszög területét:

1. \(\displaystyle T_{ABK}\)

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle ABK\) háromszög területe éppen az átlaga az \(\displaystyle ABF\) és az \(\displaystyle ABE\) háromszög területének, hiszen \(\displaystyle K\) éppen felezőpontja az \(\displaystyle EF\) szakasznak, így a három háromszög \(\displaystyle AB\)-hez tartozó magasságaira teljesül, hogy a \(\displaystyle ABK\)-beli (\(\displaystyle K\)-hoz tartozó) átlaga a másik kettőnek. Legyen \(\displaystyle a\) a hatszög oldala és \(\displaystyle O\) a középpontja. Ekkor \(\displaystyle T_{ABF}= \frac12 a\cdot a \cdot \sin 120^{\circ}=\frac12 a\cdot a \cdot \sin 60^{\circ}= \frac16,\) hiszen utóbbi pont az \(\displaystyle ABO\) háromszög területe. Az \(\displaystyle ABE\) háromszög területét például megkaphatjuk, ha a hatszög területének feléből kivonjuk az \(\displaystyle AEF\) háromszög területét: \(\displaystyle \frac12 - \frac16= \frac13\).

\(\displaystyle T_{ABK}= \frac{T_{ABF}+T_{ABE}}{2}=\frac{\frac16+\frac13}{2}=\frac14.\)

2. \(\displaystyle T_{ACK}\)

Az 1. ponthoz hasonlóan, az \(\displaystyle ACK\) háromszög területe átlaga az \(\displaystyle ACF\) és az \(\displaystyle ACE\) háromszög területének:

\(\displaystyle T_{ACK}= \frac{T_{ACF}+T_{ACE}}{2}=\frac{\frac13+\frac12}{2}=\frac{5}{12}.\)

3. \(\displaystyle T_{ADK}\)

Az \(\displaystyle ADK\) háromszög területe az \(\displaystyle ADEF\) trapéz területének a kétharmada (szintén területképletek alapján):

\(\displaystyle T_{ADK}=\frac12 \cdot \frac23 =\frac13.\)

Ha az \(\displaystyle AKL\) háromszög \(\displaystyle L\) csúcsát egy szakaszon (\(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\) valamelyikén) mozgatjuk, akkor a terület lineárisan változik, hiszen az \(\displaystyle AK\) alap rögzített, az ehhez tartozó magasság pedig lineárisan változik.

Az \(\displaystyle L=A,B,C,D\) esetekben az \(\displaystyle AKL\) háromszög területe rendre \(\displaystyle 0,\frac14,\frac{5}{12},\frac{1}{3}\), ezért a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CD\) szakaszokon lesz egy-egy olyan \(\displaystyle L\) pont, melyre teljesül a feladat feltétele. (Hiszen \(\displaystyle \frac14<\frac25<\frac{5}{12}\) és \(\displaystyle \frac13<\frac25<\frac{5}{12}\).)

1. eset: megfelelő \(\displaystyle L\) keresése a \(\displaystyle BC\) szakaszon

Ha \(\displaystyle L\) azonos \(\displaystyle B\)-vel, akkor a keresett terület \(\displaystyle \frac14\), ha \(\displaystyle C\)-vel, akkor \(\displaystyle \frac{5}{12}\); \(\displaystyle L\)-nek olyan arányban kell osztani a \(\displaystyle BC\) szakaszt, hogy a kívánt \(\displaystyle \frac{2}{5}\) területet adja. Legyen \(\displaystyle \alpha\) az a valós szám, melyre

\(\displaystyle \frac{BL}{LC}=\frac{\alpha}{1-\alpha}.\)

Ekkor a következő egyenlőség teljesül a linearitás alapján:

\(\displaystyle \alpha \frac{5}{12} + (1- \alpha) \frac14 = \frac25.\)

Ezt átalakítva:

\(\displaystyle \frac{5}{12} \alpha- \frac14 \alpha = \frac25 - \frac 14,\)

\(\displaystyle \frac16 \alpha = \frac{3}{20},\)

\(\displaystyle \alpha = \frac{9}{10}.\)

Azaz \(\displaystyle L\) megfelelő választása ebben az esetben a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi tizedelőpontja.

2. eset: \(\displaystyle L\) keresése a \(\displaystyle CD\) szakaszon

Hasonló módon itt is bevezetünk egy \(\displaystyle \beta\) arányt, melyre

\(\displaystyle \frac{CL}{LD}= \frac{\beta}{1-\beta}.\)

Ekkor \(\displaystyle L\) pontosan akkor megfelelő, ha:

\(\displaystyle \beta \frac13 + (1-\beta) \frac{5}{12}= \frac25.\)

Átalakítva:

\(\displaystyle \frac13 \beta - \frac{5}{12} \beta = \frac25 - \frac{5}{12},\)

\(\displaystyle \frac{1}{12} \beta= \frac{1}{60},\)

\(\displaystyle \beta= \frac15.\)

Azaz \(\displaystyle L\) megfelelő választása ebben az esetben a \(\displaystyle CD\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi ötödölőpontja.

Így \(\displaystyle L\) vagy a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi tizedelőpontja vagy a \(\displaystyle CD\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi ötödölőpontja.

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beinschroth Ninett, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Csilling Katalin, Csonka Illés, Ecsedi Boglárka, Egyházi Hanna, Görcs András, Hajdú Bálint, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kerekes Boldizsár, Nagy 551 Levente, Páhán Anita Dalma, Patricia Janecsko, Riba Dániel, Sebestyén József Tas, Szalanics Tamás, Szanyi Attila, Trombitás Karolina Sarolta, Ungár Éva, Zempléni Lilla.
4 pontot kapott:	Debreczeni Dorina, Farkas Jázmin, Fonyi Máté Sándor, Kovács Gábor Benedek, Mácsai Dániel, Metzger Ábris András, Molnár Réka, Németh Kristóf, Somogyi Dalma, Szabó Csege, Téglás Panna.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai