 |
A C. 1551. feladat (2019. május) |
C. 1551. Adott az \(\displaystyle ABC\) háromszög, melyről a következőket tudjuk: \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BE\) súlyvonalának hossza 3 cm, illetve 6 cm, a háromszög területe pedig \(\displaystyle 3\sqrt{15}\,~\mathrm{cm}^2\). Határozzuk meg a harmadik súlyvonal hosszát, ha tudjuk, hogy ez a másik kettőtől különbözik.
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Tükrözzük a háromszöget középpontosan \(\displaystyle E\)-re, ekkor \(\displaystyle ABCB'\) paralelogrammát kapjuk. \(\displaystyle F\) tükörképe \(\displaystyle F'\), ami a \(\displaystyle CB'\) szakasz felezőpontja.
Ekkor a középpontos tükrözés tulajdonságai miatt
\(\displaystyle AD=3,\)
\(\displaystyle BE=DF'=6,\)
\(\displaystyle CF=F'A=x.\)
Nézzük az \(\displaystyle ADF'\) háromszög területét. Az ábrán látható módon egyrészt
\(\displaystyle t_{ADF'}=2t_{ABC}-t_{BDA}-t_{F'B'A}-t_{DCF'} =\left(2-\frac12-\frac12-\frac14 \right)t_{ABC}= \frac34 \cdot 3\sqrt{15}= \frac{9 \sqrt{15}}{4}.\)
Másrészt a Hérón-képletből
\(\displaystyle t_{ADF'}= \sqrt{\frac{x+9}{2} \cdot \frac{x+3}{2} \cdot \frac{x-3}{2} \cdot \frac{9-x}{2}}.\)
Azaz
\(\displaystyle \sqrt{\frac{x+9}{2} \cdot \frac{x+3}{2} \cdot \frac{x-3}{2} \cdot \frac{9-x}{2}}=\frac{9 \sqrt{15}}{4}.\)
Ezt átalakítva kapjuk, hogy
\(\displaystyle (81-x^2)(x^2-9)=81 \cdot 15,\)
\(\displaystyle 0=x^4-90x^2+1944.\)
Alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldóképletét kapjuk, hogy \(\displaystyle x^2=54\) vagy \(\displaystyle 36\). Mivel \(\displaystyle x\) pozitív lehet csak, így \(\displaystyle x=\sqrt{54}\) vagy \(\displaystyle x=6\).
1. eset \(\displaystyle x=\sqrt{54}\)
Ez jó, mert ilyenkor az \(\displaystyle ADF'\) háromszögben teljesülnek a háromszög egyenlőtlenségek, ez a háromszög szerkeszthető. Innen \(\displaystyle ABC\) háromszög is könnyen szerkeszthető, azaz van ilyen háromszög. (Az \(\displaystyle ADF'\) háromszög súlypontja \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle E\)-re vett tükörképe \(\displaystyle C\), és így tovább.)
2. eset \(\displaystyle x=6\)
Ekkor \(\displaystyle s_b=s_c\), ami a feledat szövege alapján nem lehet, így ez az eset nem ad megoldást.
Azaz \(\displaystyle CF=\sqrt{54}\) cm.
Megjegyzés. Az 1. esetben tulajdonképpen annak az ismert állításnak az indoklását vázoltuk, hogy pontosan akkor létezik olyan háromszög, mely súlyvonalainak hossza \(\displaystyle x,y,z\), ha az \(\displaystyle x,y,z\) szakaszokból háromszög szerkeszthető. Ez igazolja, hogy az 1. esetben kapott eset tényleg előfordulhat, létezik ilyen háromszög. Mivel a 2. esetben nem kapunk megoldást, és a feladat szövegéből következtethetünk rá, hogy a szóban forgó háromszög létezik, így teljes értékű megoldáshoz a fenti észrevétel indoklását nem várjuk el.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ajtai Boglárka, Gál Bence, Hordós Adél Zita, Jankovits András, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Székelyhidi Klára. 4 pontot kapott: Ámmer Fanni, Kalabay László, Rozgonyi Gergely, Szigeti Donát, Tóth Imre. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai