A C. 1554. feladat (2019. szeptember)

C. 1554. Egy téglalapot, amelynek egyik oldala \(\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2}\)-szöröse a másiknak, átdaraboltunk egy vele egyenlő területű négyzetté. Hányszorosa a téglalap átlója a négyzetének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a feladatban szereplő téglalap rövidebb oldala \(\displaystyle a\), ekkor a hosszabb oldal \(\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{2} a\). A téglalap területe pedig

\(\displaystyle T=\frac{1+\sqrt5}{2} a^2.\)

A vele egyenlő területű négyzet oldala emiatt \(\displaystyle \sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}} a\). Az ábrán látható módon a téglalap átlója legyen \(\displaystyle x\), a négyzeté \(\displaystyle y\).

Ekkor a Pitagorasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy:

\(\displaystyle x=\sqrt{a^2+\left(\frac{1+\sqrt5}{2} \right)^2 a^2},\)

\(\displaystyle y= \sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2} a^2+ \frac{1+\sqrt5}{2} a^2}.\)

Az \(\displaystyle \frac{x}{y}\) arányt kell meghatározni, \(\displaystyle a\)-val rögtön egyszerűsítve kapjuk:

\(\displaystyle \frac{x}{y}= \sqrt{\frac{1+\left(\frac{1+\sqrt5}{2} \right)^2}{1+\sqrt{5}}} =\sqrt{\frac{\frac{4+(6+2\sqrt5)}{4}}{1+\sqrt5}}=\sqrt{\frac{\frac{5+\sqrt5}{2}}{1+\sqrt5}}=\)

\(\displaystyle =\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2+2\sqrt5}}= \sqrt{\frac{(5+\sqrt5)(2-2\sqrt5)}{(2+2\sqrt5)(2-2\sqrt5)}}=\sqrt{\frac{-8\sqrt5}{-16}} =\sqrt{\frac{\sqrt5}{2}}.\)

Azaz a téglalap átlója \(\displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt5}{2}}=\sqrt[4]{\frac{5}{4}}\)-szerese, vagyis körülbelül \(\displaystyle 1,0574\)-szerese a négyzet átlójának.

Statisztika:

188 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	116 versenyző.
4 pontot kapott:	30 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai