A C. 1560. feladat (2019. október)

C. 1560. Egy iskola hat osztálya kirándulni megy Pécsre, Szegedre, Debrecenbe vagy Miskolcra. (Egy osztály csak egy városba látogat el.) Mindegyik helyszínre legalább egy osztálynak kell utaznia. Hányféleképpen választhatnak úti célt?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel minden városba megy legalább egy osztály, így 2 lehetőség van:

1. eset: egy városba 3 osztály megy, a másik három városba 1-1
Ekkor \(\displaystyle \binom{6}{3}\)-féleképpen választhatjuk ki, hogy melyik 3 osztály látogatja ugyanazt az egy várost. Ez a város 4-féle lehet, és a maradék 3 osztály a maradék 3 városba \(\displaystyle 3!\)-féleképpen mehet. Azaz ekkor a lehetőségek száma az úticél választásra:

\(\displaystyle \binom{6}{3} \cdot 4 \cdot 3!=480.\)

2. eset: két városba 2-2 osztály megy, két városba 1-1
Ekkor \(\displaystyle \binom{6}{2}\)-féleképpen tudunk kiválasztani 2 osztályt, akik ugyanoda mennek, hogy melyik városba azt pedig 4-féleképpen. Ezután \(\displaystyle \binom{4}{2}\)-féleképpen választhatjuk ki a másik két osztályt, akik ugyanazt a várost látogatják, és 3 lehetőség van arra, hogy melyiket. Amikor a 2-2 ugyanoda kiránduló osztályt kiválasztjuk, akkor kétszer számolunk minden esetet, így 2-vel osztani kell. Végül a maradék 2 osztály a maradék két városba \(\displaystyle 2!\)-féleképpen mehet. Azaz

\(\displaystyle \binom{6}{2} \cdot 4 \cdot \binom{4}{2} \cdot 3 \cdot\frac12 \cdot 2! =1080\)

a lehetőségek száma ebben az esetben.

Így összesen 1560-féleképpen választhatnak úticélt.

Statisztika:

237 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	86 versenyző.
4 pontot kapott:	38 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	57 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai