A C. 1563. feladat (2019. október)

C. 1563. Egy félszabályos háromszöget elforgatunk a derékszögű csúcsa körül \(\displaystyle 30^{\circ}\)-kal, majd újra \(\displaystyle 30^{\circ}\)-kal. Mekkora a három háromszög közös része által alkotott síkidom területe? (Félszabályosnak hívunk egy háromszöget, ha szögei \(\displaystyle 30^{\circ}\), \(\displaystyle 60^{\circ}\), illetve \(\displaystyle 90^{\circ}\).)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a félszabályos háromszögünk átfogója 1 egység. Ekkor a hosszabbik befogó, \(\displaystyle AC\) hossza \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\). A feladat szövege alapján forgassuk el az \(\displaystyle ABC\) félszabályos háromszöget a derékszögű \(\displaystyle C\) csúcsa körül először \(\displaystyle 30^\circ\)-kal, ekkor kapjuk az \(\displaystyle A_1B_1C\) háromszöget, majd az újbóli \(\displaystyle 30^\circ\)-kal való elforgatással kapott háromszög legyen \(\displaystyle A_2B_2C\). Itt jegyezzük meg, hogy a háromszög körüljárása nem befolyásolja a megoldást, \(\displaystyle A, B\) fordított elhelyezkedésekor ugyanígy helyezkednek el az elforgatott háromszögek egymáshoz viszonyítva (tengelyes szimmetria alapján).

Elsőként vegyük észre, hogy \(\displaystyle B_2\) rajta van az \(\displaystyle AB\) átfogón (a felezőpontja), hiszen \(\displaystyle CB=CB_2=\frac12\) és \(\displaystyle BCB_2 \angle =60^ \circ\), azaz a \(\displaystyle CBB_2\) háromszög egyenlőszárú és csúcsszöge \(\displaystyle 60^ \circ\), így az alapon fekvő szögei is \(\displaystyle 60^ \circ\)-osak, azaz \(\displaystyle CBB_2\angle= 60^ \circ\).

Használjuk az ábra jelöléseit. A keresett területet két terület különbségeként kapjuk meg: \(\displaystyle T_{CDEF}=T_{CB_2F}-T_{EDB_2}\).

Vizsgáljuk a \(\displaystyle CB_2F\) háromszöget: \(\displaystyle B_2\)-nél levő szöge \(\displaystyle 60^ \circ\) (a forgatás tulajdonságai miatt), \(\displaystyle C\)-nél levő szöge \(\displaystyle 90^\circ - 60^\circ= 30^\circ\), így \(\displaystyle F\)-nél derékszög van, tehát a háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz, a hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{CB_2}{CB}=\frac12\).

Mindebből következik, hogy \(\displaystyle CF=\frac{\sqrt3}{2}\cdot CB_2=\frac{\sqrt3}{4}\). Mivel \(\displaystyle CB_2\) a \(\displaystyle CB_1\) oldal \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os elforgatottja, ezért \(\displaystyle B_1CD\angle=B_1CB_2\angle=30^{\circ}\). A \(\displaystyle CB_1D\) háromszögben továbbá \(\displaystyle CB_1D\angle=60^{\circ}\), így \(\displaystyle CDB_1\angle=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}\). Tehát az \(\displaystyle EDB_2\) háromszögben \(\displaystyle EDB_2\angle=CDB_1\angle=90^{\circ}\), \(\displaystyle DB_2E\angle=60^{\circ}\), így ez a háromszög is hasonló az eredetihez. A hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{DB_2}{BC}=\frac{CB_2-CD}{BC}=1-\frac{CF}{BC}= 1-\frac{\sqrt3/4}{1/2}=1-\tfrac{\sqrt{3}}2\).

Tehát a közös rész területének aránya az eredeti háromszög területéhez: \(\displaystyle \big(\tfrac12\big)^2-\big(1-\tfrac{\sqrt{3}}2\big)^2=\frac14-1-\frac34+\sqrt3=\sqrt3-\tfrac32\approx0,232\).

Statisztika:

201 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	89 versenyző.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai