A C. 1569. feladat (2019. november) |
C. 1569. Egy 24 fős osztályban páratlan sok gyereket hívnak Zsófiának. Tudjuk, hogy közülük aki a névsorban legelöl van, az annyiadik a névsorban, ahány Zsófia van, aki pedig a harmadik, annak a sorszáma háromszor ennyi. Tudjuk továbbá, hogy a névsorban minden Zsófia előtt vagy után szintén Zsófia van. Határozzuk meg, hogy az osztálynévsor hányadik helyein szerepelnek Zsófiák.
Hommer László (Kemence) feladata nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje \(\displaystyle n\) azt, hogy hány Zsófia van az osztályban. Tudjuk, hogy \(\displaystyle n\) páratlan, hogy a névsorban legelöl levő Zsófia az \(\displaystyle n.\) a névsorban, és hogy a harmadik helyen lévő Zsófia pedig a \(\displaystyle 3n.\) helyen van. Ebből rögtön adódik, hogy \(\displaystyle 3n \leq 24\), azaz \(\displaystyle n \leq 8\). Így 3, 5 vagy 7 Zsófia lehet az osztályban (\(\displaystyle n\geq3\), hiszen van harmadik Zsófia a feladat szövege szerint).
1. eset \(\displaystyle n=3\)
Ekkor a névsorban a 3. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 9. (ő a harmadik) is. Továbbá a feladat szövege alapján minden Zsófia előtt vagy után szintén Zsófiának kell állnia. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, kellene lennie még legalább két Zsófiának. Így három Zsófia nem lehet.
2. eset \(\displaystyle n=5\)
Ekkor a névsorban az 5. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 15. (ő a harmadik) is. A feltételek miatt a 6. gyereknek is Zsófiának kell lennie és így a 16.-nak is (mert a 15. Zsófia a harmadik a sorban, így a mellette lévő nem lehet már előtte). Még egy Zsófia maradt, aki ha a 17. a névsorban, akkor minden feltétel teljesül. Tehát ez az eset lehetséges. A Zsófiák a következő helyen szerepelnek a névsorban: 5., 6., 15., 16. és 17.
3. eset \(\displaystyle n=7\)
Ekkor a névsorban az 7. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 21. (ő a harmadik) is. A feltételek miatt a 8. gyereknek is Zsófiának kell lennie és a 22.-nek is. Maradt még 3 Zsófia, akiknek muszáj a 22. hely után elhelyezkedniük (hiszen a 7. és a 21. hely között csak egy Zsófia lehet), viszont ott már csak 2 hely maradt. Így ez az eset sem lehetséges.
Tehát 5 Zsófia van az osztályban, akik a névsorban 5., 6., 15., 16. és 17. helyeken szerepelnek.
Statisztika:
351 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 262 versenyző. 4 pontot kapott: 44 versenyző. 3 pontot kapott: 19 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai