A C. 1572. feladat (2019. november)

C. 1572. Az \(\displaystyle ABCD\) trapézban jelöljük az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontját \(\displaystyle M\)-mel, az \(\displaystyle ABC\), illetve az \(\displaystyle ACD\) háromszögek körülírt köreinek középpontjait rendre \(\displaystyle N\)-nel, illetve \(\displaystyle P\)-vel. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) pontosan akkor esik egy egyenesre, ha \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma vagy húrtrapéz.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Feltehető, hogy \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) a trapéz alapjai (hiszen az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) háromszögeket úgy kapjuk, hogy a trapéz egyik csúcsához a másik három közül két-két szomszédosat veszünk hozzá).

Először vegyük észre, hogy \(\displaystyle N\) is és \(\displaystyle P\) is rajta van az \(\displaystyle AC\) oldalfelező merőlegesén, hiszen bármely háromszög körülírt körének középpontja az oldalak felezőmerőlegeseinek a metszéspontja.

I. Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) egy egyenesre esik. Ekkor két eset lehetséges:

1. \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) két különböző pont

Ilyenkor az \(\displaystyle NP\) egyenes nem más, mint \(\displaystyle AC\) oldalfelező merőlegese. Ekkor \(\displaystyle M\)-nek is rajta kell lennie ezen az egyenesen, így mivel rajta van \(\displaystyle AC\) átlón is, ezért \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AC\) átló felezőpontja. Ekkor \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BD\) átló felezőpontja is, hiszen bármely trapézban az átlók felezőpontjai rajta vannak a trapéz középvonalán, így ha az egyik átló felezi a másikat, akkor ,,a másik is az egyiket''. Tehát \(\displaystyle ABCD\) olyan trapéz, aminek az átlói felezik egymást, azaz paralelogramma.

2. \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) egybeesik

Mivel \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle P\) pedig az \(\displaystyle ACD\) körülírt körének középpontja, ezért \(\displaystyle N=P\) esetén a két körülírt kör egybeesik, vagyis \(\displaystyle ABCD\) húrtrapéz.

II. Most igazoljuk a másik irányt, azaz tegyük fel, hogy \(\displaystyle ABCD\) trapéz paralelogramma vagy húrtrapéz.

1. eset: Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz paralelogramma

Ekkor \(\displaystyle M\) felezi az \(\displaystyle AC\) átlót, azaz rajta van \(\displaystyle AC\) oldalfelező merőlegesén, amire illeszkedik \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) is, így \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) valóban egy egyenesre esnek.

2. eset: Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz húrtrapéz

Ekkor az \(\displaystyle ABCD\) húrtrapéz köré írható kör középpontja \(\displaystyle N=P\). Így természetesen \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N=P\) egy egyenesre esnek.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gál Bence, Hajdú Bálint, Kis 194 Károly, Lakatos Enikő, Molnár Réka, Zaránd Andris.
4 pontot kapott:	Izsa Regina Mária, Ludányi Levente.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai