A C. 1573. feladat (2019. november)

C. 1573. Mutassuk meg, hogy a

\(\displaystyle 12^{2n}+7^{2n-1}+3^{3n}+4^{4n-2}-2^{2n}-11^{2n} \)

összeg osztható \(\displaystyle 23\)-mal minden pozitív egész \(\displaystyle n\) szám esetén.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először írjuk fel az összeget kicsit más alakban:

\(\displaystyle 12^{2n}+7^{2n-1}+27^n+16^{2n-1}-4^{n}-11^{2n}.\)

Most az összeg tagjaiból kialakítunk három párt úgy, hogy minden pár osztható legyen 23-mal.

1. \(\displaystyle 27^n\) és \(\displaystyle -4^n\)

\(\displaystyle 27^n-4^n=(27-4)(27^{n-1}+27^{n-2}+\cdot4\dots+27\cdot4^{n-2}+4^{n-1})\), vagyis \(\displaystyle 23\mid 27^n-4^n\).

2. \(\displaystyle 12^{2n}\) és \(\displaystyle -11^{2n}\)

\(\displaystyle 12^{2n}-11^{2n}=(12+11)(12^{2n-1}-12^{2n-2}\cdot11+\dots\pm\dots-11^{2n-1})\), amiből \(\displaystyle 23\mid 12^{2n}-11^{2n}\).

3. \(\displaystyle 7^{2n-1}\) és \(\displaystyle 16^{2n-1}\)

\(\displaystyle 7^{2n-1}+16^{2n-1}= (7+16)(7^{2n-2}-7^{2n-2}\cdot 16+ \dots\pm\dots+16^{2n-2})\) alapján \(\displaystyle 23\mid 7^{2n-1}+16^{2n-1}\).

Ha összeadunk három 23-mal osztható összeget, akkor az eredmény is osztható lesz 23-mal, így \(\displaystyle 23\mid 12^{2n}+7^{2n-1}+3^{3n}+4^{4n-2}-2^{2n}-11^{2n}\).

Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Abóczki Richárd Noel, Ámmer Fanni, Andó Lujza, Biró 424 Ádám, Dormán Mihály Vilmos, Ézsöl András, Gál Bence, Hajdú Bálint, Horváth 127 Ádám, Kalabay László, Kelemen Anna, Kim 666 Levente, Kis 194 Károly, Kulcsár Kevin, Ludányi Levente, Majerusz Ádám, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Németh Kristóf, Palencsár Enikő, Ráduly Nóra Julianna, Rékási Bence, Rokonay Szonja, Schenk Anna, Schneider Anna, Schneider Lilla, Szalontai Máté, Szanyikovách Sebő, Szarkowicz Dániel, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Teleki Sándor, Trombitás Karolina Sarolta, Varga Zita.
4 pontot kapott:	Arató Zita, Bihari Petra, Fekete András Albert, Hegedűs András , Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Ladányi Dániel, Nagy Zétény, Rassai Erik, Rátki Gergely, Szeibel Richard, Viharos Márta Judit, Windisch András.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai