A C. 1591. feladat (2020. február)

C. 1591. Egy hajó koordinátái \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=0\). A szemközti tengerpart az \(\displaystyle y= \sqrt{2x+1}\) egyenletű görbe mentén húzódik. Mekkora szögben térjen el a hajó az északi iránytól, ha azt szeretnénk, hogy a part legközelebbi pontját egyenes úton elérje? (Tegyük föl, hogy az \(\displaystyle x\) tengely kelet irányába mutat.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle y=\sqrt{2x+1}\) egyenletű görbe pontjainak koordinátái \(\displaystyle (x,\sqrt{2x+1})\) (ahol \(\displaystyle x\geq -1/2\)). Mivel a hajó a \(\displaystyle (2,0)\) pontban van, így a hajó és a görbe egy tetszőleges pontjának a távolsága a következőképpen írható fel a Pitagorasz-tétel alapján:

\(\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{2x+1}-0)^2}.\)

A feladat kérdésének a megválaszolásához ennek keressük a minimumhelyét. Mivel távolságról van szó, ami nemnegatív, így ennek a négyzetének is kereshetjük a minimumhelyét, ami a zárójelek felbontása után a következőképpen írható fel:

\(\displaystyle x^2-4x+4+2x+1=x^2-2x+5=(x-1)^2+4.\)

Ennek minimuma \(\displaystyle x=1\) esetén van, tehát \(\displaystyle x=1\) esetén a legkisebb ez a távolság. Az \(\displaystyle x=1\)-hez \(\displaystyle y=\sqrt{3}\) tartozik. Tehát a tengerpart hajóhoz legközelebbi pontja az \(\displaystyle (1,\sqrt3)\). Így az a kérdés, hogy ha a hajó a \(\displaystyle (2,0)\) pontból az \(\displaystyle (1, \sqrt3)\) pontba akar eljutni, akkor az északi iránytól, azaz a koordinátarendszerben az \(\displaystyle y\) tengely pozitív irányától mekkora szögben térjen el. Ehhez nézzük azt a háromszöget, melynek a három csúcsa: \(\displaystyle (2,0), (2,\sqrt3),(1, \sqrt3) \).

Ahogy látható ez a háromszög derékszögű és befogói 1 és \(\displaystyle \sqrt3\) hosszúak, így a keresett \(\displaystyle \varphi\) szög tangense:

\(\displaystyle \tg \varphi = \frac{1}{\sqrt3},\)

amiből

\(\displaystyle \varphi= 30^{\circ},\)

hiszen \(\displaystyle \varphi\) hegyesszög.

Tehát \(\displaystyle 30^{\circ}\)-kal kell eltérnie a hajónak az északi iránytól balra.

Megjegyzések. 1. Többen nem a távolságot írták fel \(\displaystyle x\) függvényében, hanem felvettek egy \(\displaystyle (2;0)\) középpontú kört, majd ennek sugarát határozták úgy meg, hogy az érintse az \(\displaystyle y=\sqrt{2x+1}\) görbét, majd ebből számolták a megfelelő \(\displaystyle x\) értéket.
2. Néhányan próbálkoztak az érintő egyenletét meghatározni, annak irányszögét a \(\displaystyle \tg\alpha=m\) összefüggésből kapták, végül az eltérés szöge \(\displaystyle 90^{\circ}-\alpha\).
3. A távolság minimumát nem teljes négyzetté való kiegészítés útján számolták, hanem a Viéte-formulából.
4. Jellemző hibák: – Sokan az \(\displaystyle x\)-tengelytől való eltérést számolták.
– Sokan megsejtették, hogy a minimális távolság 2, ezt azonban nem indokolták.

Statisztika:

165 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	117 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai