A C. 1592. feladat (2020. február)

C. 1592. Angliában két jóbarát elindult megkeresni egyikük elveszett jegygyűrűjét. Azt ugyan nem találták meg, de a fémkeresővel néhány VIII. Henrik idejéből származó aranypénzre bukkantak, amelyek \(\displaystyle 100\,000\) fontot hoztak a két jóbarátnak. A kitűnő állapotban megmaradt 1 fontos érmék évi átlagos értéknövekedése az 500 év alatt 1,42% és 1,43% között volt. Hány érmét találhattak?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle n\) a talált érmék számát. Ekkor a feladat feltételei alapján:

\(\displaystyle n \left( 1+ \frac{1,42}{100} \right)^{500} \leq 100\,000 \leq n \left( 1+ \frac{1,43}{100}\right)^{500},\)

hiszen egyetlen érme értéke \(\displaystyle \left( 1+ \frac{1,42}{100} \right)^{500}\) és \(\displaystyle \left( 1+ \frac{1,43}{100} \right)^{500}\) közé esik.

Tehát azon \(\displaystyle n\) értékek lehetségesek, melyekre

\(\displaystyle \frac{100\,000}{\left( 1+ \frac{1,43}{100} \right)^{500}} \leq n \leq \frac{100\,000}{\left( 1+ \frac{1,42}{100} \right)^{500}}.\)

A hatványok körülbelüli értékét kiszámolva kapjuk, hogy

\(\displaystyle 1152,93<\left( 1+ \frac{1,42}{100} \right)^{500}<1152,94\)

és

\(\displaystyle 1211,19<\left( 1+ \frac{1,43}{100} \right)^{500}<1211,20.\)

Így

\(\displaystyle 82<\frac{100\,000}{\left( 1+ \frac{1,43}{100} \right)^{500}}<83\)

és

\(\displaystyle 86<\frac{100\,000}{\left( 1+ \frac{1,42}{100} \right)^{500}}<87.\)

Azaz a lehetséges \(\displaystyle n\) értékek: \(\displaystyle n\in\{ 83, 84, 85, 86\}.\)

Tehát 83, 84, 85 vagy 86 érmét találhattak.

Statisztika:

231 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	157 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai