A C. 1632. feladat (2020. november)

C. 1632. Hány olyan különböző, pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat létezik, melynek elemei a 24, a 744 és a 2844 is? (Két számtani sorozatot különbözőnek tekintünk, ha különböző a kezdőelemük vagy a differenciájuk.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a számtani sorozat \(\displaystyle a_1,a_2,\dots\), a differenciája pedig \(\displaystyle d\). Mivel a sorozat nem konstans, és pozitív egészekből áll, ezért növekedő, vagyis \(\displaystyle d>0\) és valamely \(\displaystyle 1\leq i<j<k\) indexekre \(\displaystyle a_i=24,a_j=744,a_k=2844\). Mivel \(\displaystyle (j-i)d=a_j-a_i=720\) és \(\displaystyle (k-j)d=a_k-a_j=2100\), ezért \(\displaystyle d\mid (720,2100)=60\).

Megfordítva, ha \(\displaystyle d\) a 60 valamely pozitív osztója, akkor ha 24 a sorozat eleme, akkor a sorozat mindenképpen tartalmazza a 744-et és a 2844-et is. Ha \(\displaystyle a_i=24\), akkor \(\displaystyle a_1=24-d(i-1)\), és a sorozat pontosan akkor áll pozitív egészekből, ha már \(\displaystyle a_1=24-d(i-1)\) értéke is pozitív. Vagyis \(\displaystyle 24>d(i-1)\), és így \(\displaystyle \lceil 24/d \rceil \geq i\) kell, hogy teljesüljön. Vagyis, ha \(\displaystyle d\) a 60 valamelyik pozitív osztója, akkor \(\displaystyle a_1\) megválasztására \(\displaystyle \lceil 24/d \rceil\) lehetőség van, ezt kell összegezni, hogy megkapjuk a megfelelő sorozatok számát. Részletezve:

• \(\displaystyle d=1\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 1,2,\dots,24\), ez 24 lehetőség
• \(\displaystyle d=2\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 2,4,\dots,24\), ez 12 lehetőség
• \(\displaystyle d=3\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 3,6,\dots,24\), ez 8 lehetőség
• \(\displaystyle d=4\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 4,8,\dots,24\), ez 6 lehetőség
• \(\displaystyle d=5\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 4,9,14,19,24\), ez 5 lehetőség
• \(\displaystyle d=6\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 6,12,18,24\), ez 4 lehetőség
• \(\displaystyle d=10\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 4,14,24\), ez 3 lehetőség
• \(\displaystyle d=12\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 12,24\), ez 2 lehetőség
• \(\displaystyle d=15\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 9,24\), ez 2 lehetőség
• \(\displaystyle d=20\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet \(\displaystyle 4,24\), ez 2 lehetőség
• \(\displaystyle d=30\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke csak 24 lehet, ez 1 lehetőség
• \(\displaystyle d=60\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke csak 24 lehet, ez 1 lehetőség

Ezek alapján a megfelelő sorozatok száma \(\displaystyle 24+12+8+6+5+4+3+2+2+2+1+1=70\).

Statisztika:

230 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	89 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	38 versenyző.
1 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	24 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai