 |
A C. 1646. feladat (2021. január) |
C. 1646. Oldjuk meg az \(\displaystyle {(xy-1)}^2 = {(x + 1)}^2 + {(y + 1)}^2\) egyenletet az egész számpárok halmazán.
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A négyzetre emeléseket elvégezve, majd mindkét oldalhoz \(\displaystyle (2xy-1)\)-et adva a jobb oldalon \(\displaystyle (x+y+1)^2\)-t kapunk:
\(\displaystyle (xy)^2-2xy+1=x^2+2x+1+y^2+2y+1,\)
\(\displaystyle (xy)^2=x^2+2x+y^2+2y+2xy+1,\)
\(\displaystyle (xy)^2=(x+y+1)^2.\)
Ez az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle xy=x+y+1\) vagy \(\displaystyle xy=-(x+y+1)\). A két esetet külön-külön megvizsgáljuk.
Először nézzük az \(\displaystyle xy=-(x+y+1)\) esetet. Átrendezés után az \(\displaystyle (x+1)(y+1)=0\) egyenletet kapjuk, ami pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valamelyike \(\displaystyle -1\).
Most tekintsük az \(\displaystyle xy=x+y+1\) esetet. Alkalmas átrendezés után az egyenlet \(\displaystyle (x-1)(y-1)=2\) alakban írható. Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egészek, ezért \(\displaystyle x-1\) és \(\displaystyle y-1\) is azok, viszont a 2 csak a következőképpen állhat elő két egész szám szorzataként: \(\displaystyle 2\cdot 1=1\cdot 2=(-2)\cdot (-1)=(-1)\cdot (-2)\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (3,2),\ (2,3),\ (-1,0),\ (0,-1)\) megoldásokat kapjuk, ezek közül az utóbbi kettőt az előző esetben is megkaptuk már.
Tehát az egyenletnek végtelen sok megoldása van: \(\displaystyle (x, -1)\) (ahol \(\displaystyle x\) tetszőleges egész), \(\displaystyle (-1,y)\) (ahol \(\displaystyle y\) tetszőleges egész), \(\displaystyle (3,2)\) és \(\displaystyle (2,3)\).
Statisztika:
175 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 80 versenyző. 4 pontot kapott: 11 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 25 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 8 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2021. januári matematika feladatai