 |
A C. 1647. feladat (2021. január) |
C. 1647. Egy egyenlő szárú háromszög száraihoz tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Jelölje \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle R\) a háromszög beírt és körülírt körének sugarát. Határozzuk meg az \(\displaystyle \frac{r}{R}\) arány pontos értékét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöléseink az ábrán láthatók, ahol az \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AC\) szárak felezőpontjait rendre \(\displaystyle D, E\)-vel, az \(\displaystyle AB\) alap felezőpontját \(\displaystyle F\)-fel jelöltük.
Az egyenlő szárú háromszög az \(\displaystyle AB\) alap \(\displaystyle CF\) felezőmerőlegesére szimmetrikus, ezért ha \(\displaystyle SD=x\), akkor \(\displaystyle SE=x\) is igaz, a súlypont pedig a súlyvonalak csúcstól távolabb eső harmadolópontja, tehát \(\displaystyle SA=SB=2x\).
A feltétel alapján az \(\displaystyle ABS\) háromszög egyenlő szárú, derékszögű háromszög, ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle AB=2x\cdot{\sqrt{2}}.\) |
Az \(\displaystyle ASE\) és \(\displaystyle BSD\) egybevágó derékszögű háromszögek, ezért a Pitagorasz-tétel alkalmazása után azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{AC}{2}=\frac{BC}{2}=AE=BD=x\cdot{\sqrt{5}},\)
így
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle AC=BC=2x\cdot{\sqrt{5}}.\) |
Ebből (1) és (2) alapján az következik, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög kerülete:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle K_{ABC}=2x\cdot({\sqrt{2}+2{\sqrt{5}}}).\) |
Bármely háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét, ezért az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle T_{ABC}=2\cdot{T_{ABD}}=2\cdot{\frac{3x\cdot{2x}}{2}}=6x^2.\) |
Ismeretes, hogy minden háromszögben \(\displaystyle \frac{T}{K}=\frac{r}{2}\), ezért (3) és (4) felhasználásával
\(\displaystyle r=\frac{2\cdot{T_{ABC}}}{K_{ABC}}=\frac{12x^2}{2x\cdot({\sqrt{2}+2{\sqrt{5}}})}.\)
A törtet egyszerűsítve és a nevezőt gyöktelenítve:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle r=x\cdot{\frac{6(2\sqrt{5}-\sqrt{2})}{20-2}}=x\cdot{\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}}.\) |
Minden háromszögben érvényes az
\(\displaystyle R=\frac{abc}{4T}\)
összefüggés, ezért
\(\displaystyle R=\frac{2x\cdot\sqrt{5}\cdot2x\cdot\sqrt{5}\cdot2x\cdot\sqrt{2}}{24x^2},\)
ebből egyszerűsítés után adódik, hogy:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle R=x\cdot{\frac{5\sqrt{2}}{3}}.\) |
Az (5) és (6) eredmények felhasználásával a beírt és körülírt kör sugarának aránya:
\(\displaystyle \frac{r}{R}=x\cdot{\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}}\cdot\frac{3}{x\cdot5\sqrt{2}}.\)
Egyszerűsítve és a nevezőt négyzetgyöktelenítve:
\(\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{2\sqrt5-\sqrt2}{5\sqrt2}=\frac{2\sqrt{10}-2}{10}=\frac{\sqrt{10}-1}{5},\)
ez a feltételeknek megfelelő egyenlőszárú háromszög beírt és körülírt körei sugarának arányára adott pontos érték.
Statisztika:
122 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 80 versenyző. 4 pontot kapott: 28 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. januári matematika feladatai