A C. 1648. feladat (2021. január)

C. 1648. Arthur király és Sir Lancelot gyalog-galopp versenyt rendeznek. Sir Lancelot azt mondja Arthur királynak: ,,Felség, az ön gyalog-galopp sebessége az enyémnek csak a \(\displaystyle \frac{2}{3}\)-a, ezért adok önnek \(\displaystyle 100\) méter előnyt és a kijelölt versenypálya hosszán belül biztosan utolérem. Ha pedig ön \(\displaystyle 2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)-mal csökkentené a sebességét, én pedig \(\displaystyle 5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)-mal és \(\displaystyle 50\) méter előnyt adnék önnek, akkor is utolérném a pályán. A kétféle utolérési időtartam összege éppen \(\displaystyle 75\) másodperc.'' Határozzuk meg Arthur király és Sir Lancelot gyalog-galopp sebességét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen Sir Lancelot gyalog-galopp sebessége \(\displaystyle x\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\). Ekkor a feltétel alapján Arthur királyé \(\displaystyle \frac{2}{3}x\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\). Ha Sir Lancelot 100 méter előnyt ad Arthur királynak, akkor \(\displaystyle \frac{100}{x-\frac{2}{3}x}=\frac{300}{x}\) másodperc alatt éri utol, hiszen indulás után a relatív sebességük \(\displaystyle \left(x-\frac{2}{3}x\right)\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\) lesz, az utolérés pedig akkor következik be, amikor 100-ról 0-ra csökken a távolságuk.

A második esetben Arthur király sebessége \(\displaystyle \left(\frac23 x-2\right)\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), Sir Lanceloté \(\displaystyle (x-5)\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), az előny pedig 50 méter, így az utolérési idő \(\displaystyle \frac{50}{(x-5)-\left(\frac23 x-2\right)}=\frac{50}{\frac{x}{3}-3}=\frac{150}{x-9}\) másodperc. Ebből az is kiderül, hogy \(\displaystyle x>9\), hiszen különben negatív (vagy 0) értéket kapnánk, ami azt jelentené, hogy Sir Lancelot így már valójában lassabb Arthur királynál (vagy épp egyforma gyorsak).

Azt kell meghatároznunk, milyen \(\displaystyle x>9\) mellett lesz

\(\displaystyle \frac{300}{x}+\frac{150}{x-9}=75,\)

azaz

\(\displaystyle \frac{4}{x}+\frac{2}{x-9}=1.\)

A \(\displaystyle (9,\infty)\) intervallumon a bal oldal értéke szigorúan monoton csökkenő, így legfeljebb egy megoldás lehet, és nem nehéz észrevenni, hogy ez a megoldás \(\displaystyle x=12\). (Ehelyett a nevezőkkel való felszorzás után kapott másodfokú egyenletet megoldva is megkaphatjuk, hogy \(\displaystyle x=12\), az egyenlet másik gyöke \(\displaystyle x=3\), ami például azért sem adhat megoldást, mert ekkor Sir Lancelot 5 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\)-mal csökkentett sebességének mérőszáma már negatív lenne.)

Tehát Sir Lancelot gyalog-galopp sebessége 12 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), Arthur királyé pedig 8 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\) (a második változatban pedig 7 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), illetve 6 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}s\)). Ellenőrzésként az utolérési idők: eredetileg \(\displaystyle \frac{300}{12}=25\) másodperc, az elképzelt második esetben pedig \(\displaystyle \frac{150}{x-9}=50\) másodperc, az összeg valóban 75 másodperc.

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	122 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai