A C. 1650. feladat (2021. január)

C. 1650. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget, ahol \(\displaystyle a, b, c>1\):

\(\displaystyle \log_{ab}c\le \frac{\log_ac + \log_bc}{4}. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A logaritmus azonosságait használva az igazolandó egyenlőtlenség a következő alakban írható:

\(\displaystyle \frac{\ln c}{\ln (ab)}\leq \frac{\frac{\ln c}{\ln a}+\frac{\ln c}{\ln b}}{4}. \)

Mivel \(\displaystyle a,b,c>1\), ezért a \(\displaystyle \frac{4\ln a\ln b\ln (ab)}{\ln c}\) pozitív értékkel szorozva a vele ekvivalens

\(\displaystyle 4\ln a\ln b\leq (\ln a+\ln b)\ln (ab)\)

egyenlőtlenséget kapjuk. Ismét a logaritmus tulajdonságait használva, átrendezve, majd teljes négyzetté alakítva:

\(\displaystyle 4\ln a\ln b\leq (\ln a+\ln b)^2,\)

\(\displaystyle 0\leq (\ln a)^2+(\ln b)^2-2\ln a\ln b,\)

\(\displaystyle 0\leq (\ln a-\ln b)^2.\)

Ez az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenség pedig valóban teljesül, hiszen a jobb oldalon egy valós szám négyzete szerepel. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle \ln a=\ln b\), vagyis, ha \(\displaystyle a=b\).

Ezzel megmutattuk, hogy a feladatban szereplő egyenlőtlenség mindig teljesül, és pontosan \(\displaystyle a=b\) esetén áll fenn egyenlőség.

Megjegyzés. A megoldásban bármilyen alapú logaritmust használhattunk volna a természetes (\(\displaystyle e\) alapú) logaritmus helyett.

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Albert Ákos, Andó Lujza, Baksay Réka, Biró 424 Ádám, Bodrogi Éva, Dobi Dorina Lili, Duska Máté, Egyházi Hanna, Fekete András Albert, Flódung Áron , Horváth Antal, HyunBin Yoo, Lénárt Réka, Molnár Réka, Németh László Csaba, Szalanics Tamás, Xu Yiling.
4 pontot kapott:	Bakonyi Blanka, Bana Marcell, Horváth 828 Mátyás, Jósvai Dominik, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Kosóczki Balázs, Lukács Márton, Németh Kristóf, Németh Máté Előd, Rátki Gergely, Schneider Anna, Sütő Csenge, Szabó András József , Szirmai Dénes, Téglás Panna, Varga 601 Zalán, Zaránd Andris, Zsoldos Péter.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai