A C. 1660. feladat (2021. március)

C. 1660. Egy \(\displaystyle 61\times61\)-es sakktábla négyzeteire elhelyezzük a pozitív egész számokat a bal felső sarokból indulva és a tábla sorainak megfelelően haladva \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 61^2\)-ig. Ezután első lépésben minden beírt szám előjelét negatívra változtatjuk. Második lépésben minden páros szám előjelét megváltoztatjuk, harmadik lépésben minden \(\displaystyle 3\)-mal osztható szám előjelét, és így tovább, amíg a lépés lehetséges. Mindezt elvégezve a táblán hány olyan \(\displaystyle 1\times2\)-es téglalap lesz, amelyben a számok összege negatív?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Először határozzuk meg a számok (végső) előjelét. Minden szám előjele annyiszor változik, ahány pozitív osztója van. Mivel pontosan a négyzetszámoknak van páratlan sok osztója, ezért a négyzetszámok előjele negatív lesz, a többi számé pedig pozitív.

Egy \(\displaystyle 1\times 2\)-es téglalapban pontosan akkor negatív az összeg, ha a nagyobb abszolút értékű szám negatív, vagyis abszolút értéke négyzetszám. (Akár az is előfordulhat, hogy a kisebb abszolút értékű is negatív, de ez nem befolyásolja a továbbiakat.)

Az egyszerűség kedvéért a mezőkre hivatkozzunk azzal a (pozitív) számmal, ami eredetileg oda lett írva.

Először vizsgáljuk meg, hány olyan \(\displaystyle 1\times 2\)-es téglalap van, aminél a két négyzet egy sorban van, továbbá jobb oldali négyzete (ami a nagyobb értéket fedi) négyzetszám. Ehhez azt kell meghatároznunk, hogy az \(\displaystyle 1^2,2^2,\dots,61^2\) számok közül hány nem az első oszlopban van. Pontosan azok vannak az első oszlopban, melyek 61-es maradéka 1. A \(\displaystyle k^2\) szám 61-es maradéka pedig pontosan akkor 1, ha \(\displaystyle k^2-1=(k+1)(k-1)\) osztható 61-gyel. Mivel a 61 prímszám, ezért ez csak akkor lehet, ha \(\displaystyle 61\mid k+1\) vagy \(\displaystyle 61\mid k-1\). Ez a két eset – mivel most \(\displaystyle k\leq 61\) – \(\displaystyle k=60\), illetve \(\displaystyle k=1\) esetén áll fenn, tehát \(\displaystyle 1^2\) és \(\displaystyle 60^2\) az első oszlopban vannak, a többi 59 négyzetszám nem, így ebből 59 megfelelő téglalapot kapunk.

Most vizsgáljuk meg, hány olyan \(\displaystyle 1\times 2\)-es téglalap van, aminél a két négyzet egy oszlopban van, továbbá a lejjebb lévő négyzete (ami a nagyobb értéket fedi) négyzetszám. Ehhez azt kell meghatároznunk, hogy az \(\displaystyle 1^2,2^2,\dots,61^2\) számok közül hány nem az első sorban van. Az első sorban lévő négyzetszámok \(\displaystyle 1,4,9,16,25,36,49\) (hiszen a 64 már a második sorba kerül), a többi 54 négyzetszám (\(\displaystyle 8^2,9^2,\dots,61^2\)) nem az első sorban van, így ebből 54 megfelelő téglalapot kapunk.

Tehát az olyan \(\displaystyle 1\times 2\)-es téglalapok száma, ahol a számok összege negatív: \(\displaystyle 59+54=113\).

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	64 versenyző.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai