 |
A C. 1668. feladat (2021. április) |
C. 1668. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalainak felezőpontjai rendre \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\). Az \(\displaystyle AF\) és \(\displaystyle AG\) egyenesek a \(\displaystyle BD\) átlót a \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle L\) pontban metszik. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle EFK\) és \(\displaystyle GHL\) háromszögek területének összege az \(\displaystyle EKL\) háromszög területével egyenlő.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételeknek megfelelően készített ábrán az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlóinak metszéspontját \(\displaystyle M\)-mel jelöltük.
Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AF\) súlyvonal, és mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, ezért \(\displaystyle M\) felezőpontja \(\displaystyle AC\)-nek, tehát az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BM\) is súlyvonal. A súlyvonalak egy pontban metszik egymást, vagyis a \(\displaystyle K\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja.
Hasonlóan látható be, hogy az \(\displaystyle ACD\) háromszögben \(\displaystyle AG\) és \(\displaystyle DM\) súlyvonalak, ezért \(\displaystyle L\) az \(\displaystyle ACD\) háromszög súlypontja. Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) egybevágó háromszögek, hiszen két-két megfelelő oldaluk a paralelogramma tulajdonságai miatt egyenlő, \(\displaystyle AC\) oldaluk pedig közös. A háromszögek súlypontjai harmadolják a súlyvonalakat, és mivel egybevágó háromszögekben a megfelelő oldalakhoz tartozó súlyvonalak hossza egyenlő, ezért az \(\displaystyle MK=x\) jelöléssel
\(\displaystyle BK=KL=LD=2x,\)
azaz a \(\displaystyle K, L\) pontok a \(\displaystyle BD\) átló harmadolópontjai.
Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ACD\) háromszögek egybevágóságából az is következik, hogy területük egyenlő, így, ha a paralelogramma területét \(\displaystyle T\)-vel jelöljük, akkor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle T_{ABC}=T_{ACD}=\frac{T}{2}.\) |
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AF\) súlyvonala felezi a háromszög területét, vagyis (1) felhasználásával
\(\displaystyle T_{ABF}=\frac{T}{4}.\)
Az \(\displaystyle ABF\) háromszögnek az \(\displaystyle FE\) szakasz súlyvonala, tehát \(\displaystyle T_{AEF}=\frac{T}{8}.\)
Mint láttuk, a \(\displaystyle K\) pont harmadolja az \(\displaystyle AF\) szakaszt, ami azt is jelenti, hogy az \(\displaystyle EFK\) háromszög területe az \(\displaystyle AEF\) háromszög területének harmadrésze, hiszen az \(\displaystyle EFK\) és \(\displaystyle EFA\) háromszögeknek az \(\displaystyle E\) csúcshoz tartozó magassága megegyezik, területeik aránya ezért az alapok hosszának arányával egyezik meg, vagyis
\(\displaystyle \frac{T_{EFK}}{T_{EFA}}=\frac{FK}{FA}=\frac{1}{3},\)
amelyből \(\displaystyle T_{EFK}=\frac{T}{24}\) következik.
Hasonlóan egyszerűen látható be, hogy \(\displaystyle T_{GHL}=\frac{T}{24}\) is teljesül, és emiatt
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T_{EFK}+T_{GHL}=\frac{T}{12}.\) |
Az \(\displaystyle ABD\) háromszög területe fele az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma területének, és mivel ebben a háromszögben \(\displaystyle DE\) nyilván súlyvonal, ezért
\(\displaystyle T_{BDE}=\frac{T}{4}.\)
Az \(\displaystyle EKL\) és \(\displaystyle EBD\) háromszögeknek az \(\displaystyle E\) ponthoz tartozó magassága ugyanaz, területeik aránya a \(\displaystyle KL\) és \(\displaystyle BD\) alapok hosszának arányával egyezik meg. Mint láttuk, \(\displaystyle KL\) a \(\displaystyle BD\)-nek éppen harmadrésze, ebből pedig azonnal adódik, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle T_{EKL}=\frac{T}{12}.\) |
(2) és (3) együttesen éppen a feladat állítását bizonyítják.
Megjegyzés. Az \(\displaystyle EFK\) és \(\displaystyle GHL\) háromszögekről egyszerűen megmutatható, hogy egybevágók.
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 55 versenyző. 4 pontot kapott: 14 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai