A C. 1680. feladat (2021. szeptember)

C. 1680. Egy négyszög egyik oldalának hossza 5 cm, a rajta fekvő két szög \(\displaystyle 90^{\circ}\) és \(\displaystyle 60^{\circ}\). Tudjuk továbbá, hogy a négyszög húr- és érintőnégyszög is. Hogyan lehet ezek alapján megszerkeszteni a négyszöget? Írjuk le és indokoljuk a szerkesztés lépéseit (az elemi szerkesztési lépéseket, mint pl. szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni).

Javasolta: Zagyva Tiborné (Baja)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy a feladatbeli \(\displaystyle ABCD\) négyszögben \(\displaystyle AB=5\,cm\). Tegyük fel továbbá, hogy az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) csúcsnál fekvő belső szögek nagysága \(\displaystyle 90^{\circ}\) illetve \(\displaystyle 60^{\circ}\) (a szerkesztés lépései és azok indoklásai változatlanok maradnak, ha az \(\displaystyle A\) csúcsnál fekvő belső szög nagysága \(\displaystyle 60^{\circ}\), és a \(\displaystyle B\) csúcsnál levő belső szög a derékszög).

Mivel a négyszög húrnégyszög, ezért a \(\displaystyle C\) csúcsnál levő belső szög derékszög, illetve a \(\displaystyle D\) csúcsnál levő belső szögre \(\displaystyle CDA\sphericalangle=120^{\circ}\).

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög érintőnégyszög is, ezért a négyszögbe az oldalakat érintő kör írható, amelynek középpontja a belső szögfelezők metszéspontja.

Jelölje a beírt kör középpontját \(\displaystyle O\), a beírt körnek az \(\displaystyle AB, BC, CD, DA\) oldalra illeszkedő érintési pontjait pedig rendre \(\displaystyle E, F, G, H\). A négyszög megszerkesztésének lépéseit a következő ábra segítségével végezzük el.

Először az \(\displaystyle AB\) szakaszra az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) csúcsban megszerkesztjük a \(\displaystyle 90^{\circ}\)-os, illetve \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szögeket, ezzel megszerkesztettük a négyszög \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalegyeneseit.

A szögek nagyságára vonatkozó feltétel miatt a szögfelező egyenesek biztosan metszik egymást, vagyis a szögfelezők megszerkesztésével megkapjuk a beírt kör \(\displaystyle O\) középpontját. A feltételek mellett tehát az \(\displaystyle ABO\) háromszög mindig létrejön.

Az \(\displaystyle ABO\) háromszögben az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsnál fekvő belső szögek \(\displaystyle 45^{\circ}\) és \(\displaystyle 30^{\circ}\). Mivel ezek hegyesszögek, és \(\displaystyle AOB\sphericalangle=105^{\circ}\) tompaszög, ezért, ha az \(\displaystyle O\) pontból az \(\displaystyle AB\) szakaszra merőlegest szerkesztünk, akkor a merőleges talppontja az \(\displaystyle AB\) szakasz belső pontja lesz, ez a pont a beírt kör és az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle E\) érintési pontja.

Az \(\displaystyle O\) pontból a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) oldalegyenesekre szerkesztett merőlegesek talppontjai megadják a négyszög beírt körének az oldalakkal való \(\displaystyle F\), illetve \(\displaystyle H\) érintési pontjait.

A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok megszerkesztéséhez a \(\displaystyle BF\) félegyenes \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle F\) pontjától különböző \(\displaystyle P\) pontjában merőlegest állítunk a félegyenesre. Az így létrejött \(\displaystyle p\) egyenes a \(\displaystyle BCD\sphericalangle=90^{\circ}\) miatt nyilván párhuzamos a szerkesztendő \(\displaystyle CD\) egyenessel.

Ha tehát az \(\displaystyle O\) pontból megszerkesztjük a \(\displaystyle p\)-re merőleges \(\displaystyle OT\) félegyenest, akkor ez merőleges lesz a \(\displaystyle CD\) egyenesre, és az \(\displaystyle OT\) félegyenes, valamint a négyszög \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OE\) sugarú beírt körének közös közös pontja \(\displaystyle G\).

Ezután a \(\displaystyle G\) pontban az \(\displaystyle OT\) félegyenesre merőlegest állítva kapjuk a beírt kört a \(\displaystyle G\) pontban érintő egyenest, amely a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) egyenesekből kimetszi a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\) pontokat.

A szerkesztés leírása szerint a feltételek figyelembe vételével az \(\displaystyle ABCD\) négyszög mindig megszerkeszthető és mindig egy megoldást kapunk.

Statisztika:

238 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	32 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	38 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai