 |
A C. 1689. feladat (2021. november) |
C. 1689. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) egész számok:
$$\begin{align*} a + d & = 9,\\ ad + b & = 8,\\ bd + c & = 74,\\ cd & = 18. \end{align*}$$Javasolta: Berkó Erzsébet (Szolnok)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az utolsó egyenlet alapján \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) azonos előjelűek, hiszen szorzatuk pozitív. Ha mindkettő negatív, akkor a harmadik egyenlet alapján \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}\) is negatív, ekkor viszont a második egyenletből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}\) szintén negatív. Két negatív szám összege, \(\displaystyle a+d\) is negatív, ami ellentmond az első egyenletnek.
Az előzőekből az következik, hogy \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) is a \(\displaystyle 18\) pozitív osztója, ám nem lehet mindkettő \(\displaystyle 3\)–mal osztható, hiszen akkor a \(\displaystyle bd+c\) is az lenne, így nem lehetne egyenlő \(\displaystyle 74\)–gyel. Vagyis nem lehet – valamilyen sorrendben – \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) a 3 és a 6.
Tehát négy esetet kell megvizsgálnunk. 1. eset. Ha \(\displaystyle c=1\), akkor \(\displaystyle d=18\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=\frac{73}{18}\), amely nem egész, így nem kapunk megoldást.
2. eset. Ha \(\displaystyle c=2\), akkor \(\displaystyle d=9\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=8\) és \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}=0\). Ekkor \(\displaystyle a+d=0+9=9\), tehát egy megfelelő számnégyest kapunk.
3. eset. Ha \(\displaystyle c=9\), akkor \(\displaystyle d=2\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=\frac{65}{2}\), amely nem egész, így nem kapunk megoldást.
4. eset. Ha \(\displaystyle c=18\), akkor \(\displaystyle d=1\), \(\displaystyle b= \frac{74-c}{d}=56\) és \(\displaystyle a= \frac{8-b}{d}=-48\). Ekkor \(\displaystyle a+d=-48+1=-47 \neq 9\), így ebben az esetben sem kapunk megoldást.
Több eset nincs, így az egyenletrendszer egyetlen megoldása:
\(\displaystyle a=0,\)
\(\displaystyle b=8,\)
\(\displaystyle c=2,\)
\(\displaystyle d=9.\)
Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy ez a számnégyes valóban megfelelő.
Statisztika:
241 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 170 versenyző. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 35 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai