 |
A C. 1694. feladat (2021. december) |
C. 1694. Határozzuk meg az alábbi egyenlet megoldását a valós számok halmazán:
$$\begin{gather*} x-2021-\frac{x-2020}{2}+\frac{x-2019}{3}-\frac{x-2018}{4}+\frac{x-2017}{5}-\ldots +{}\\ {} + \frac{x-3}{2019}-\frac{x-2}{2020}+\frac{x-1}{2021}-\frac{x}{2022}=0. \end{gather*}$$Javasolta: Sáfár Lajos (Ráckeve)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle x-2021-\frac{x-2020}{2}\) kifejezést a kijelölt műveletek elvégzésével átalakítjuk: \(\displaystyle x-2021-\frac{x-2020}{2}= \frac{2x-4042-(x-2020)}{2}=\frac{x-2022}{2}\). Az egyenlet bal oldalán összesen \(\displaystyle 1011\) hasonló kifejezés összege áll. Általánosan ezek a következő alakban írhatók fel (\(\displaystyle k=2n-1\) alakú, ahol \(\displaystyle 1 \leq n \leq 1011\) pozitív egész szám):
\(\displaystyle \frac{x-k}{2022-k}- \frac{x-(k-1)}{2022-(k-1)}= \frac{(x-k)(2023-k) - (x-k+1)(2022-k)}{(2022-k)(2023-k)}=\)
\(\displaystyle =\frac{2023x-kx-2023k+k^2-2022x+2022k-2022+kx-k^2+k}{(2022-k)(2023-k)}=\)
\(\displaystyle =\frac{x-2022}{(2022-k)(2023-k)}.\)
Az egyenlet bal oldalán \(\displaystyle 1011\) olyan tört áll, amelynek számlálója \(\displaystyle x-2022\), ezt kiemelve az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk:
\(\displaystyle (x-2022)\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+ \ldots +\frac{1}{2021 \cdot 2022}\right)=0.\)
A bal oldali szorzat második tényezője pozitív, így csak az \(\displaystyle x-2022=0\) egyenlet megoldása az egyenlet egyetlen gyöke.
A megoldás \(\displaystyle x=2022\).
Statisztika:
153 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 97 versenyző. 4 pontot kapott: 29 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai