 |
A C. 1696. feladat (2021. december) |
C. 1696. Adottak az \(\displaystyle a\) és a \(\displaystyle b\) párhuzamos egyenesek, melyeken kijelölünk rendre \(\displaystyle 10\), illetve \(\displaystyle 15\) darab pontot. Tekintsük az összes olyan szakaszt, melynek egyik végpontja az \(\displaystyle a\), másik pedig a \(\displaystyle b\) egyenes kijelölt pontjai közül való. Legfeljebb hány metszéspontja lehet összesen ezeknek a szakaszoknak?
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A keletkező metszéspontokat a következőképpen számoljuk össze. Kiválasztunk az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egyenesen kijelölt pontok közül két-két különbözőt, és tekintjük az általuk meghatározott konvex négyszög átlóinak metszéspontját. Ez a metszéspont éppen megfelel a feladat feltételeinek, és a feladatban szereplő pontok mindegyike megkapható ezzel a módszerrel. Legfeljebb annyi ilyen pont van, ahány négyszöget alkothatunk úgy, hogy \(\displaystyle 2\) csúcsot az \(\displaystyle a\), kettőt pedig a \(\displaystyle b\) egyenesen kijelölt pontok közül választunk, a kiválasztás során a pontok sorrendje nem számít. Az \(\displaystyle a\) egyenesen kijelölt \(\displaystyle 10\) pontból \(\displaystyle \binom{10}{2}=45\)–féleképpen választhatjuk ki a \(\displaystyle 2\) pontot, a \(\displaystyle b\) egyenesen lévő \(\displaystyle 15\) pontból pedig \(\displaystyle \binom{15}{2}=105\)–féleképpen, ezért a létrejövő négyszögek száma \(\displaystyle 45 \cdot 105=4725\).
A szóbanforgó szakaszoknak legfeljebb \(\displaystyle 4725\) metszéspontja lehet.
Megjegyzés. Ez meg is valósulhat, ha egymás után vesszük fel a pontokat az egyeneseken és figyelünk arra, hogy ne essen egybe semelyik két metszéspont.
Statisztika:
134 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 69 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2021. decemberi matematika feladatai