A C. 1714. feladat (2022. április)

C. 1714. Egy táblára felírtuk 1-től 22-ig az egész számokat. Ezután egy lépésben kiválasztunk két számot, letöröljük őket és helyettük felírjuk a különbségük abszolútértékét. Bizonyítsuk be, hogy a táblára utoljára felírt szám páratlan.

(német feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Kezdetben a táblán a következő páratlan számok vannak:
\(\displaystyle 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21\), összesen \(\displaystyle 11\) darab. Vizsgáljuk meg, mi történhet a páratlan számok számával egy lépésben.
1. eset Ha két páratlan számot törlünk le, akkor páros szám kerül a helyükre, hiszen különbségük páros. Így a táblán lévő páratlan számok száma \(\displaystyle 2\)-vel csökken, azaz paritása nem változik.
2. eset Egy páros és egy páratlan szám különbsége páratlan, így két különböző paritású szám letörlése esetén egy páratlan szám kerül fel helyettük a táblára, azaz ugyanannyi páratlan szám lesz a táblán, mint a lépés előtt.
3. eset Két páros szám helyett páros szám kerül a táblára, így a páratlan számok száma ilyen esetben sem változik.

Láthatjuk, hogy mivel kezdetben \(\displaystyle 11\) páratlan szám volt a táblán, ezért minden lépés után páratlan darab páratlan szám lesz a táblán, így amikor csupán egy szám marad a táblán, az szükségképpen páratlan lesz. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	89 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai