 |
A C. 1716. feladat (2022. április) |
C. 1716. Faktoriális számrendszerben a helyiértékek nem egy egész szám, az alapszám hatványai, hanem az \(\displaystyle n\)-edik helyiérték az \(\displaystyle n\) szám faktoriálisa. Tehát az első helyiértéken lévő számjegyet 1-gyel, a második helyiértéken álló számot 2-vel, a harmadik helyiértéken álló számot 6-tal kell szorozni, és így tovább. Ennek megfelelően pl. a \(\displaystyle 3310_!\) faktoriális számrendszerbeli szám értéke tízes számrendszerben \(\displaystyle 3\cdot4! +3\cdot3!+ 1\cdot2!=92\). (Amennyiben a szám faktoriális alakjában egy helyiértéken többjegyű szám áll, akkor azt zárójelbe tesszük.) (Igazolható, hogy a felírás egyértelmű, tehát minden pozitív egésznek egy alakja van faktoriális számrendszerben. Lásd az I. 553. januári informatika feladatot.) Megfigyeltük, hogy \(\displaystyle 111_!\) harmada \(\displaystyle 11_!\), az \(\displaystyle 111\;111_!\) harmadrésze \(\displaystyle 22\;011_!\) és \(\displaystyle 111\;111\;111_!\) harmada pedig \(\displaystyle 33\;022\;011_!\). Adjuk meg a \(\displaystyle 3n\) darab 1-esből álló, faktoriális számrendszerben megadott szám harmadát faktoriális számrendszerben.
Lénárt István (Budapest) ötletéből
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A csupa \(\displaystyle 1\)-esből álló faktoriális számrendszerbeli szám értékét hármas csoportokban határozzuk meg. Az \(\displaystyle k\)-adik \(\displaystyle 3\) darab \(\displaystyle 1\)-esből álló blokk valódi értéke (ahol \(\displaystyle 0<k \leq n\) egész szám):
\(\displaystyle (3k)!+(3k-1)!+(3k-2)!= 3k(3k-1)(3k-2)!+(3k-1)(3k-2)!+(3k-2)!=\)
\(\displaystyle =(3k-2)!(3k(3k-1)+(3k-1)+1)=(3k-2)!(3k(3k-1)+3k).\)
Ennek harmadát ebben a formában érdemes vizsgálni, hiszen a második tényezőt \(\displaystyle 3\)-mal elosztva, majd a zárójelet felbontva, a helyiértékeknek megfeleltethető formában kapjuk meg a kifejezést:
\(\displaystyle (3k-2)!(k(3k-1)+k)=k(3k-1)!+k(3k-2)!=0 \cdot (3k)!+k(3k-1)!+k(3k-2)!\)
Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle 3k\)-adik helyiértéken \(\displaystyle 0\), a \(\displaystyle (3k-1)\)-edik helyiértéken \(\displaystyle k\) és a \(\displaystyle (3k-2)\)-edik helyiértéken szintén \(\displaystyle k\) áll.
A fentiek alapján elvégezhetjük a \(\displaystyle 3\)-mal való osztást a \(\displaystyle 3n\) darab 1-esből álló faktoriális számrendszerben megadott szám összes \(\displaystyle 3\) darab \(\displaystyle 1\)-esből álló csoportján, így megkapjuk a szám harmadát, amely az
\(\displaystyle \underline{n}\ \underline{n}\ \underline{0}\ \underline{n-1}\ \underline{n-1}\ \underline{0}\ \underline{n-2}\ \underline{n-2}\ \ldots \underline{0}\ \underline{3}\ \underline{3}\ \underline{0}\ \underline{2}\ \underline{2}\ \underline{0}\ \underline{1}\ \underline{1}\ _! \)
alakban felírható, (\(\displaystyle 3n-1\))-jegyű faktoriális számrendszerbeli szám.
Statisztika:
84 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 64 versenyző. 4 pontot kapott: 6 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai