 |
A C. 1717. feladat (2022. április) |
C. 1717. Legyen a \(\displaystyle 15x^2-21x+7=0\) egyenlet két valós gyöke \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\). Adjuk meg az
\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \)
kifejezés pontos értékét.
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle 21\), így valóban két különböző valós gyök van. Mivel a konstans tag nem nulla, ezért a gyökök egyike sem nulla, így a feladatban szereplő törtek értelmezhetők.
A gyökök összegének és szorzatának kiszámítására felhasználjuk a Viéte-formulákat. A gyökök összege: \(\displaystyle \displaystyle{x_1+x_2=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}}\), a gyökök szorzata pedig \(\displaystyle \displaystyle{x_{1} \cdot x_2=\frac{7}{15}}.\) Ezután a kérdéses kifejezést olyan alakra hozzuk, hogy a fenti értékek behelyettesítésével könnyedén kiszámíthassuk az értékét:
\(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{x_1}^2 + {x_2}^2+x_1+x_2 }{x_{1} x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_{1} x_2+x_1+x_2}{x_{1} x_2}=\)
\(\displaystyle =\frac{(x_1+x_2)(x_1+x_2+1)}{x_{1} x_2}-2=\frac{\frac{7}{5} \cdot \frac{12}{5}}{\frac{7}{15}}-2=\frac{36}{5}-\frac{10}{5}=\frac{26}{5}.\)
Az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}\) kifejezés pontos értéke \(\displaystyle \displaystyle{\frac{26}{5}}\).
Statisztika:
183 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 123 versenyző. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai