 |
A C. 1731. feladat (2022. szeptember) |
C. 1731. Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz párhuzamos oldalai \(\displaystyle AB>CD\), a trapéz középvonala az \(\displaystyle AC\) átlót az \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BD\) átlót az \(\displaystyle F\) pontban metszi. A \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának
\(\displaystyle a)\) számtani,
\(\displaystyle b)\) mértani közepe.
Határozzuk meg, hogy a két eset közül melyikben lesz nagyobb az \(\displaystyle \dfrac{AB}{CD}\) arány értéke.
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a trapéz \(\displaystyle AD\), illetve \(\displaystyle BC\) szárának felezőpontja \(\displaystyle G\), illetve \(\displaystyle H\) és jelöljük az \(\displaystyle EF\) szakasz hosszát \(\displaystyle \displaystyle{s}\)-sel az alábbi ábra szerint.
A \(\displaystyle GH\) középvonal egyrészt párhuzamos az \(\displaystyle AB=a\) és a \(\displaystyle CD=c\) alapokkal, másrészt felezi az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlókat az \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\) pontban. Eszerint \(\displaystyle GE\) az \(\displaystyle ACD\), míg \(\displaystyle HF\) a \(\displaystyle BCD\) háromszög középvonala. A háromszög középvonalának tulajdonsága alapján tehát
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{GE=HF=\frac{c}{2}}.\) |
Ugyanakkor \(\displaystyle EH\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög középvonala, hasonlóképpen \(\displaystyle GF\) az \(\displaystyle ABD\) háromszög középvonala, ezért \(\displaystyle \displaystyle{EH=GF=\frac{a}{2}}\) és így (1) felhasználásával kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{s=\frac{a-c}{2}}.\) |
Ha a \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának számtani közepe, akkor \(\displaystyle \displaystyle{c=\frac{a+\frac{a-c}{2}}{2}}\), amelyből a műveletek elvégzésével és rendezéssel adódik, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{c}=\frac{5}{3}}.\) |
Ha pedig a \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának mértani közepe, akkor \(\displaystyle \displaystyle{c=\sqrt{a\cdot{\frac{a-c}{2}}}}\), ahonnan négyzetreemeléssel és rendezéssel a \(\displaystyle 2c^2=a^2-ac\) egyenletet kapjuk.
Az egyenlet mindkét oldalát oszthatjuk \(\displaystyle c^2\)-tel, ebből a \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{a}{c}}\) jelölést alkalmazva az \(\displaystyle x^2-x-2=0\) másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai \(\displaystyle x_1=2\) és \(\displaystyle x_2=-1\).
A feltételeknek nyilván csak az első megoldás felelhet meg, ezért a b) esetben
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{c}=\frac{2}{1}}.\) |
A (3), illetve (4) eredmények alapján tehát az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{AB}{CD}}\) arány értéke akkor lesz a nagyobb, ha a \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának mértani közepe.
Megjegyzés. A feladat értelmetlenné válna, ha az \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle F\) pont azonos lenne. Könnyen látható, hogy ekkor a trapéz paralelogramma, \(\displaystyle s=0\) és \(\displaystyle a=c\), így a számtani közép \(\displaystyle \displaystyle{\frac {a}{2}}\), a mértani közép pedig 0, és egyik sem lehet \(\displaystyle c\)-vel egyenlő.
Statisztika:
58 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Angyal Fanni Zsófia, Antal László, Bilicki Vilmos, Duzmath Brigitta, Hajós Balázs, Halász Henrik, Hochenburger Zoárd, Hosszu Noel, Magyar Gábor Balázs, Pacsay-Tomassich Vince, Pekk Márton, Perényi Lídia , Petró Péter, Prikler Dorka Abigél, Sarkadi Sándor, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szabó Viktória Ildikó . 4 pontot kapott: Dancsák Dénes, Keszthelyi Eszter, Lele-Nagy Krisztián, Ruzsa Bence Márk, Szittyai Anna. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 23 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai