 |
A C. 1756. feladat (2023. február) |
C. 1756. Oldjuk meg a valós számok halmazán a
\(\displaystyle 4\cdot \cos\big(\pi\cdot \sin {(\pi \cdot x)}\big)=-5x^2+15x-\frac{61}{4} \)
egyenletet.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenletet a jobb, illetve bal oldalon álló kifejezések értékkészletének vizsgálatával oldjuk meg. A jobb oldalon szereplő másodfokú kifejezést teljes négyzetté alakítjuk:
\(\displaystyle -5x^2+15x-\frac{61}{4}=-5 \Big(x-\frac32 \Big) ^2-4,\)
erről megállapíthatjuk, hogy minden \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) esetén az értéke kisebb vagy egyenlő \(\displaystyle -4\)-nél. Most nézzük a bal oldalt. Mivel bármely valós szám koszinusza legalább \(\displaystyle -1\), legfeljebb pedig \(\displaystyle 1\), ezért
\(\displaystyle -1 \le \cos\big[\pi\cdot{\sin{\big(\pi{\cdot{x}}\big)}\big]} \le 1, \)
amelyet \(\displaystyle 4\)-gyel beszorozva a
\(\displaystyle -4 \le 4\cos\big[\pi\cdot{\sin{\big(\pi{\cdot{x}}\big)}\big]} \le 4 \)
egyenlőtlenségrendszerhez jutunk, ami azt jelenti, hogy a megoldandó egyenlet bal oldalának értéke nem nagyobb \(\displaystyle -4\)-nél. A fentiekből következően egyenlőség csakis akkor állhat fenn, ha mindkét oldal értéke egyenlő \(\displaystyle -4\)-gyel, azaz a másodfokú kifejezés felveszi a maximumát, vagyis \(\displaystyle x=\frac32.\) Utolsó lépésként kiszámítjuk az egyenlet bal oldalának értékét \(\displaystyle x=\frac32\)-re:
\(\displaystyle 4 \cdot \cos\big[\pi\cdot{\sin{\Big(\pi{\cdot{\frac32}}\Big)}\big]}=4 \cdot \cos(\pi \cdot (-1))= 4\cos(-\pi)=4 \cdot(-1)=-4. \)
Láthatjuk, hogy teljesül az egyenlőség, tehát az egyenletnek az \(\displaystyle x=\frac32\) az egyetlen valós megoldása.
Statisztika:
36 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Braun Zsófia, Emődi Marcell, Fekete Patrik, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Lupkovics Lilla, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós. 4 pontot kapott: Angyal Fanni Zsófia, Baksa Anna, Hüvös Gergely, Végh Lilian. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. februári matematika feladatai