A C. 1772. feladat (2023. május)

C. 1772. A tízes számrendszerben legfeljebb háromjegyű pozitív egész számok között hány olyan van, amelynek a kettes számrendszerbeli alakja palindromszám? (Palindromszámnak nevezünk egy számot, ha számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza.)

Javasolta: Koncz Levente (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A tízes számrendszerben a legnagyobb háromjegyű pozitív egész szám a \(\displaystyle 999\), amely kisebb, mint \(\displaystyle 1024 = 2^{10},\) ezért a vizsgált számok kettes számrendszer­beli alakjában a \(\displaystyle 2^9\) a legnagyobb helyiérték, így ezek a számok a kettes számrend­szerben legfeljebb tízjegyűek. A kettes számrendszerbeli számjegyek száma alapján összeszámoljuk a megfelelő számo­kat.

Az egyetlen pozitív egyjegyű kettes számrendszerbeli szám palindromszám.

A kétjegyűek közül csak a \(\displaystyle 11\) palindromszám.

A háromjegyűek első és így utolsó számjegye biztosan \(\displaystyle 1\), a középső számjegy kétféle lehet, tehát \(\displaystyle 2\) megfelelő háromjegyű szám van.

A négyjegyűek első és így utolsó számjegye biztosan \(\displaystyle 1\), a második számjegy kétféle lehet, amely meghatározza a harmadik számjegyet is, tehát \(\displaystyle 2\) megfelelő négyjegyű szám van.

Ehhez hasonlóan az öt- és hatjegyű számoknak a második és harmadik, a hét- és nyolcjegyű számoknak a második, harmadik és negyedik, a kilenc- és tízjegyű számoknak pedig a második, harmadik, negyedik és ötödik számjegyét választhatjuk meg szabadon. Ha \(\displaystyle k\) darab szabadon megválasztható számjegye van a számnak, akkor \(\displaystyle 2^k\) megfelelő, adott számjegyű szám van. Ez összesen \(\displaystyle 2 \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + 16)=62\) darab szám, de ebből le kell vonni azok számát, amelyek a tízes számrendszerben már négyjegyűek.

Mivel \(\displaystyle 1000_{10} = 1111101000_2\), így az \(\displaystyle 1000\) és az \(\displaystyle 1023\) közötti számok kettes számrendszerbeli alakjának első öt helyiértékén \(\displaystyle 1\)-es áll. Ezek közül csak az \(\displaystyle 1023\) kettes számrendszerbeli alakja lesz palindromszám, hiszen \(\displaystyle 10\) darab \(\displaystyle 1\)-est tartalmaz.

A fentiek alapján összesen \(\displaystyle 62-1= 61\) darab, a feltételeknek megfelelő szám van.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Tomesz László Gergő, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Jójárt Emese, Őzbas Yasin, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai