Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1800. feladat (2024. február)

C. 1800. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle n\) természetes szám, akkor a

\(\displaystyle \Bigl[\sqrt{16n+21}; \sqrt{16n+24}\Bigr] \)

intervallumban nincs egész szám.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy létezik egy \(\displaystyle k\) pozitív egész szám, amely az adott intervallumban van, azaz igaz, hogy \(\displaystyle \sqrt{16n+21}\le k \le \sqrt{16n+24}.\) Tudjuk, hogy \(\displaystyle n \ge 0\), tehát \(\displaystyle 16n+21\) pozitív, így a gyökvonások mindig értelmezettek, valamint mindhárom szám pozitív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás. Négyzetre emelés után azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle 16n+21\le k^2 \le 16n+24,\)

tehát a \(\displaystyle 16n+21,\) \(\displaystyle 16n+22,\) \(\displaystyle 16n+23,\) \(\displaystyle 16n+24\) számok valamelyike négyzetszám kell hogy legyen. Mivel \(\displaystyle 16n+21=16(n+1)+5\), ezért \(\displaystyle 16\)-tal osztva \(\displaystyle 5\) maradékot ad. A \(\displaystyle 16n+22\) szám \(\displaystyle 16\)-tal való osztási maradéka \(\displaystyle 6\), a \(\displaystyle 16n+23\)-é \(\displaystyle 7\), a \(\displaystyle 16n+24\)-é pedig \(\displaystyle 8\). Most nézzük meg, hogy egy \(\displaystyle m\) egész szám négyzete \(\displaystyle 16\)-tal osztva milyen maradékot adhat.

Az \(\displaystyle m\) maradéka \(\displaystyle m\) \(\displaystyle m^2\)Az \(\displaystyle m^2\) maradéka
\(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 16l\) \(\displaystyle 256l^2\) \(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 15\) \(\displaystyle 16l \pm 1\) \(\displaystyle 256l^2 \pm 32l +1\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle 14\) \(\displaystyle 16l \pm 2\) \(\displaystyle 256l^2 \pm 64l +4\) \(\displaystyle 4\)
\(\displaystyle 3\) vagy \(\displaystyle 13\) \(\displaystyle 16l \pm 3\) \(\displaystyle 256l^2 \pm 96l +9\) \(\displaystyle 9\)
\(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 12\) \(\displaystyle 16l \pm 4\) \(\displaystyle 256l^2 \pm 128l +16\) \(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 11\) \(\displaystyle 16l \pm 5\) \(\displaystyle 256l^2 \pm 160l +25\) \(\displaystyle 9\)
\(\displaystyle 6\) vagy \(\displaystyle 10\) \(\displaystyle 16l \pm 6\) \(\displaystyle 256l^2 \pm 192l +36\) \(\displaystyle 4\)
\(\displaystyle 7\) vagy \(\displaystyle 9\) \(\displaystyle 16l \pm 7\) \(\displaystyle 256l^2 \pm 224l +49\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 8\) \(\displaystyle 16l + 8\) \(\displaystyle 256l^2 +256l +64\) \(\displaystyle 0\)

A táblázatból kiolvashatjuk, hogy egy négyzetszám \(\displaystyle 16\)-tal osztva csak \(\displaystyle 0, 1, 4\) vagy \(\displaystyle 9\) maradékot adhat. Ellentmondásra jutottunk, hiszen láttuk, hogy ha létezne megfelelő \(\displaystyle k\), akkor a négyzetének \(\displaystyle 16\)-tal való osztási maradéka kizárólag \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) vagy \(\displaystyle 8\) lehetne. Ezzel a bizonyítás végére értünk, beláttuk, hogy amennyiben \(\displaystyle n\) természetes szám, akkor a \(\displaystyle \left[\sqrt{16n+21}; \sqrt{16n+24}\right ]\) intervallum nem tartalmaz egyetlen egész számot sem.


Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:60 versenyző.
4 pontot kapott:8 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:20 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:5 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai