A C. 1814. feladat (2024. május)

C. 1814. Milyen arányban osztja két részre az \(\displaystyle r\) sugarú kör területét az az egyenes, amelynek a kör középpontjától való távolsága \(\displaystyle \dfrac{r}{\sqrt{2}}\)?

Ringler András (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle e\) egyenes és az \(\displaystyle O\) középpont távolsága az \(\displaystyle O\)-ból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Legyen ennek a merőlegesnek a talppontja \(\displaystyle T\).

\(\displaystyle d(O,e)=|OT|.\)

A középpontból a húrra bocsátott merőleges felezi a húrt, ezért az \(\displaystyle AB\) felezőpontja \(\displaystyle T\). Az \(\displaystyle OTB\) háromszög derékszögű, egyik befogója \(\displaystyle \displaystyle{\frac{r}{\sqrt{2}}}\), átfogója \(\displaystyle r\). Erre felírva a Pitagorasz-tételt, azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{r^2-\frac{r^2}{2}=TB^2}\), vagyis \(\displaystyle \displaystyle{\frac{r^2}{2}=TB^2}\), tehát \(\displaystyle \displaystyle{TB=\frac{r}{\sqrt{2}}}\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle OT=TB\), vagyis az \(\displaystyle OTB\) egyenlő szárú és derékszögű háromszög, így \(\displaystyle TOB\sphericalangle=45^{\circ}\). Az \(\displaystyle OTB\cong OTA\), így \(\displaystyle TOA \sphericalangle=45^{\circ}\), ebből következően \(\displaystyle AOB \sphericalangle =90^{\circ}\). Így az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pontok által meghatározott két körcikk területe a kör területének \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{4}}\)-e, illetve \(\displaystyle \displaystyle{\frac{3}{4}}\)-e.

Az \(\displaystyle e\) egyenes által meghatározott két körszelet területét jelöljük \(\displaystyle t_1\)-gyel és \(\displaystyle t_2\)-vel.

\(\displaystyle t_2=\frac{3}{4}t_{kör}+T_{ABC\triangle}=\frac{3}{4}r^2\pi+\frac{r^2}{2} =r^2\left(\frac{3\pi+2}{4}\right).\)

\(\displaystyle t_1=\frac{1}{4}t_{kör}-T_{ABC\triangle}=\frac{1}{4}r^2\pi-\frac{r^2}{2}=r^2\bigg(\frac{\pi-2}{4}\bigg).\)

A keresett arány:

\(\displaystyle t_1:t_2=\Big(r^2\bigg(\frac{\pi-2}{4}\bigg)\Big):\Big(r^2\bigg(\frac{3\pi+2}{4}\bigg)\Big)=\frac{\pi-2}{4}\cdot\frac{4}{3\pi+2}=\frac{\pi-2}{3\pi+2}\approx0,09992\approx1:10,008.\)

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	62 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai