 |
A C. 1817. feladat (2024. május) |
C. 1817. Elkezdtünk egy pénzérmét dobálni. A dobássorozat eredménye: egy fej, egy írás, egy fej, két írás, egy fej, három írás, egy fej és így tovább, azaz az írásokból álló megszakításmentes szériák hossza mindig 1-gyel növekszik, és azokat minden esetben egyetlen fej választja el egymástól. Ha ez a szabályosság megmarad, akkor hányadik dobás után hagyhatjuk abba a dobálást, hogy a fejek relatív gyakorisága pontosan \(\displaystyle \frac{1}{2023}\) legyen?
Barczy Mátyás, Nyul Gábor (Debrecen)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A megoldás során tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén az \(\displaystyle n\)-edik blokk alatt az \(\displaystyle n\)-edik fejjel kezdődő és az azt követő \(\displaystyle n\) darab írásból álló dobássorozatot értjük:
\(\displaystyle \underset{1. \text{ blokk}}{\underbrace{F,I},} \overset{2. \text{ blokk}}{\overbrace{F,I,I},} \underset{3. \text{ blokk}}{\underbrace{F,I,I,I},} \overset{4. \text{ blokk}}{\overbrace{F,I,I,I,I},} \ldots \overset{n-1. \text{ blokk}}{\overbrace{F, I, \ldots I,I},}\underset{n. \text{ blokk}}{\underbrace{F, \overset{n \text{ darab}}{\overbrace{I, \ldots I,I}}},} \ldots\)
\(\displaystyle (1)\) Az \(\displaystyle n\)-edik blokk első dobását követően a fejek száma \(\displaystyle n\), az írások száma
\(\displaystyle 1+\ldots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2},\)
így ekkor a fejek relatív gyakorisága
\(\displaystyle \frac{n}{n+\frac{(n-1)n}{2}}=\frac{2}{n+1}.\)
\(\displaystyle (2)\) Az \(\displaystyle n\)-edik blokk utolsó dobását követően a fejek száma \(\displaystyle n\), az írások száma \(\displaystyle 1+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), így ekkor a fejek relatív gyakorisága
\(\displaystyle \frac{n}{n+\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n+3}.\)
\(\displaystyle (3)\) Ha felírjuk az \(\displaystyle n\)-edik blokk minden egyes dobását követően a fejek relatív gyakoriságát, akkor egy szigorúan monoton csökkenő (véges) sorozatot kapunk, hiszen a blokk második dobásától kezdődően minden dobás eredménye írás.
A fenti észrevételek alapján az \(\displaystyle n\)-edik blokkba tartozó valamely dobást követően a fejek relatív gyakorisága csak akkor lehet \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2023}}\), ha teljesül, hogy
\(\displaystyle \frac{2}{n+1}\geq\frac{1}{2023}\geq\frac{2}{n+3},\)
azaz \(\displaystyle 4043\leq n\leq 4045\), és mindhárom szóba jöhető blokk esetén legfeljebb egy olyan dobás lehet, amely után \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2023}}\) a fejek relatív gyakorisága \(\displaystyle (3)\) miatt.
Ha \(\displaystyle n=4043\), akkor a \(\displaystyle (2)\) észrevétel szerint a \(\displaystyle 4043\). blokk utolsó (azaz \(\displaystyle 4044\).) dobását követően a fejek relatív gyakorisága \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2}{4043+3}=\frac{1}{2023}}\), és ekkor a dobások száma
\(\displaystyle 4043+\frac{4043\cdot 4044}{2}=4043 \cdot 2023=8\,178\,989.\)
Ha \(\displaystyle n=4044\), akkor a fejek aránya nem változik az előző megoldáshoz képest, ha a \(\displaystyle 4044\). blokkból \(\displaystyle 1\) fejet és még \(\displaystyle 2022\) írást dobunk, vagyis összesen \(\displaystyle 1+2022=2023\) darab dobást elvégzünk. Tehát jó megoldást kapunk, ha a dobások száma
\(\displaystyle 4043 \cdot 2023+2023=4044 \cdot 2023= 8\,181\,012.\)
Ha \(\displaystyle n=4045\), akkor a fejek aránya nem változik az előző megoldáshoz képest, ha a \(\displaystyle 4044\). blokkban megmaradt \(\displaystyle 2022\) írást és a \(\displaystyle 4045.\) blokk első dobását hozzávesszük, vagyis még \(\displaystyle 2022+1=2023\) dobást elvégzünk. Ezért szintén jó megoldást kapunk, ha a dobások száma
\(\displaystyle 4044 \cdot 2023 +2023= 4045 \cdot 2023=8\,183\,035.\)
Beláttuk, hogy más megoldás nincs, azaz \(\displaystyle 4043\)-szor, \(\displaystyle 4044\)-szer, vagy \(\displaystyle 4045\)-ször \(\displaystyle 2023\) dobás után kell abbahagynunk a dobálást, hogy a feladat feltételei teljesüljenek. Összefoglalva: a \(\displaystyle 8\,178\,989\)., a \(\displaystyle 8\,181\,012\). és a \(\displaystyle 8\,183\,035\). dobásokat követően lesz a fejek relatív gyakorisága \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2023}}\).
Statisztika:
40 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Barna Márton, Biborka Bernadett, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Török Eszter Júlia. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai