A C. 813. feladat (2005. május)

C. 813. Egy téglalap egyik oldala 10 cm hosszú. Mekkora a téglalap másik oldala, ha egy 10 cm x1 cm-es téglalap átlósan is éppen elfér benne?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje $\alpha$ . Ekkor AP=sin $\alpha$ , PB=10cos $\alpha$ , ezért

10=AP+PB=sin $\alpha$ +10cos $\alpha$ .

A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el $\sqrt{101}$ -gyel, ekkor

$\frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}}\sin\alpha + \frac{10}{\sqrt{101}}\cos\alpha .$

Jelölje $\beta$ azt a hegyesszöget, amelyre $\cos\beta = \frac{1}{\sqrt{101}}$ és $\sin\beta = \frac{10}{\sqrt{101}}$ . Így

sin $\beta$ =cos $\beta$ sin $\alpha$ +sin $\beta$ cos $\alpha$ =sin ( $\alpha$ + $\beta$ ).

Mivel 0< $\beta$ < $\alpha$ + $\beta$ < $\pi$ , az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha $\beta$ +( $\alpha$ + $\beta$ )= $\pi$ , azaz $\alpha$ = $\pi$ -2 $\beta$ . Ezzel a téglalap másik oldala

b=cos $\alpha$ +10sin $\alpha$ =-cos 2 $\beta$ +10sin 2 $\beta$ =-(2cos² $\beta$ -1)+10^.2sin $\beta$ cos $\beta$ =

$=-(2\frac{1}{101} - 1) + 20 \cdot \frac{10}{\sqrt{101}} \cdot \frac{1}{\sqrt{101}} = \frac{299}{101} \approx 2.96.$

Statisztika:

128 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 67 versenyző.

4 pontot kapott: 26 versenyző.

3 pontot kapott: 13 versenyző.

2 pontot kapott: 9 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 10 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai

128 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	67 versenyző.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?