Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 818. feladat (2005. szeptember)

C. 818. Egy kör alakú asztalra rátettünk egy négyzet alakú terítőt úgy, hogy a középpontjaik egybeestek. A kör és a négyzet kerülete egyenlő. Az asztallap területének hány százalékát takarja a terítő?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás:

Legyen az asztal sugara r, a terítő oldala pedig 2a. Tudjuk, hogy 8a=2r $\pi$ , ebből a=0,25r $\pi$ <r.

A zöld háromszögből $\varphi=\hbox{\rm arccos}{a\over r}=\hbox{\rm arccos}{\pi\over4}$ . A lefedett terület 8 zöld háromszögből és négy piros körcikkből áll. Ezek területe együtt:

$T_{lefedett}=8\cdot{a\sqrt{r^2-a^2}\over2}+r^2\pi\cdot{2\pi-8\varphi\over2\pi}=r^2\pi\sqrt{1-0,0625\pi^2}+r^2\pi\cdot{2\pi-8\phi\over2\pi}.$

Az asztallap területe T_a=r² $\pi$ , és így a keresett arány:

${T\over T_a}\approx0,7692.$

Tehát az asztallap területének kb. 77%-át takarja a terítő.

Statisztika:

518 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 213 versenyző.

4 pontot kapott: 26 versenyző.

3 pontot kapott: 19 versenyző.

2 pontot kapott: 19 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 222 versenyző.

Nem versenyszerű: 8 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai

518 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	213 versenyző.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	222 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.