A C. 862. feladat (2006. szeptember)

C. 862. Adjuk meg azokat az x, y számpárokat, amelyekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

2|x+y||x|+|y|.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A feladatot öt esetre bontjuk.

I. eset: x<0, y<0. Ekkor az egyenlőtlenség így néz ki: 2(-x-y)-x-y, vagyis 0x+y, ami ebben az esetben nem lehetséges.

II. eset: x>0, y>0. Ekkor az egyenlőtlenség így néz ki: 2(x+y)x+y, vagyis x+y0, ami ebben az esetben nem lehetséges.

III. eset: x>0, y<0. Ekkor x+y0 esetén azt kapjuk, hogy y-x/3; x+y<0 esetén pedig azt, hogy y-3x. A kettő egyesítve: -3xy-x/3, ami az ábrán a zölddel satírozott rész.

IV. eset: x<0, y>0. Ekkor x+y0 esetén azt kapjuk, hogy y-3x; x+y<0 esetén pedig azt, hogy y-x/3. A kettő egyesítve: -x/3y-3x, ami az ábrán a szürkével satírozott rész.

V. eset: x=0 vagy y=0. Ez csak akkor lehet, ha mindkettő 0, és ez is jó megoldás: x=y=0.

Statisztika:

466 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	170 versenyző.
4 pontot kapott:	58 versenyző.
3 pontot kapott:	42 versenyző.
2 pontot kapott:	41 versenyző.
1 pontot kapott:	57 versenyző.
0 pontot kapott:	91 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai